3 课时作业(三) 等差数列的定义（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(三)　等差数列的定义 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．等差数列{an}中，a3＝4，公差d＝－2，则a5＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．－ C．1 D．0 D　[等差数列{an}中，a3＝4，公差d＝－2，则a5＝a3＋2d＝4－4＝0.] 2．(多选)等差数列20，17，14，11，…中的负数项可以是(　　) A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 BCD　[a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0. 故数列中的负数项是第8项及其之后的项，故选BCD.] 3．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 B　[公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n， 令即⇒21<n≤22. 又∵n∈N*，∴n＝22.] 4．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为(　　) A． B．－ C．－ D．－1 B　[设原等差数列的公差为d，则8＋4d＝2， 解得d＝－，因此新等差数列的公差为－.] 5．在等差数列{an}中，已知a1＝，a4＋a5＝，ak＝33，则k＝(　　) A．50 B．49 C．48 D．47 A　[设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝，a4＋a5＝，∴2a1＋7d＝，解得d＝，则an＝＋(n－1)×＝，则ak＝＝33，解得k＝50.] 二、填空题 6．(2020·浙江嘉兴期末)已知等差数列{an}的前3项依次是－1，a－1，1，则a＝________；通项公式an＝________． 解析：　由－1，a－1，1是等差数列{an}的前3项， 得－1＋1＝2(a－1)，即a＝1. ∴a－1＝0，则公差d＝0－(－1)＝1. ∴an＝－1＋(n－1)×1＝n－2，n∈N*. 答案：　1　n－2 7．(2020·贵州贵池期中)已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，若6，a，b，c，2成等差数列，则该三角形的面积为________． 解析：　若6，a，b，c，2成等差数列，则公差d＝＝－1， 故a＝5，b＝4，c＝3， 所以a2＝b2＋c2，三角形ABC为直角三角形， 故三角形的面积S＝×3×4＝6. 答案：　6 8．(2020·四川成都期末)二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若大暑、立秋、处暑的日影子长度之和为18尺，立冬的日影子长度为10.8尺，则夏至的日影子长度为________尺． 解析：　设夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次为a1，a2，a3，…，a12，公差为d， 则a3＋a4＋a5＝3a1＋9d＝18，a10＝a1＋9d＝10.8， ∴d＝0.8，a1＝3.6， 则夏至的日影子长 a1＝3.6. 答案：　3.6 三、解答题 9．(2020·江苏泰州中学高二月考)在等差数列{an}中，已知a4＝70，a21＝－100. (1)求出首项a1与公差d，并写出通项公式； (2){an}中有多少项属于区间[－18，18]. 解析：　设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝70，a21＝－100， 得 解得a1＝100，d＝－10， ∴an＝a1＋(n－1)d＝100＋(n－1)(－10)＝－10n＋110. (2)由－18≤－10n＋110≤18， 得9.2≤n≤12.8， ∵n∈N*， ∴n＝10，11，12共三项． 10．已知数列{an}满足a1＝－，an＋1＝(n∈N*). (1)证明：数列是等差数列； (2)求{an}的通项公式． 解析：　(1)证明：an＋1＋1＝， ∴＝＝＋3， ∴－＝3. ∵＝3，∴是以3为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)知＝3n， ∴an＋1＝，an＝－1，n∈N*. ☆ 11．两个正实数a，b满足3a，，b成等差数列，则不等式＋≥m2＋4m恒成立时实数m的取值范围是(　　) A．[－4，3] B．[－2，6] C．[－6，2] D．[－3，4] C　[∵两个正实数a，b满足3a，，b成等差数列， ∴1＝3a＋b， ∴＋＝(3a＋b)＝3＋＋＋3≥12. ∴不等式＋≥m2＋4m恒