2 课时作业(二) 数列中的递推 （课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(二)　数列中的递推 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是(　　) A．an＋1＝an＋n，n∈N* B．an＝an－1＋n，n∈N* C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N* D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 C　[由已知得a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4， a5－a4＝5，…，an＋1－an＝n＋1，n∈N*，故选C.] 2．(2020·湖北宜昌质检)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，n∈N*，则a5－a1＝(　　) A．13　　　　　　　　　 B．14 C．15 D．16 C　[数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋1，n∈N*， ∴a1＝S1＝3，a5＝S5－S4＝(2×52＋1)－(2×42＋1)＝18. 则a5－a1＝18－3＝15.] 3．已知数列{an}满足anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)且a1＝1，则等于(　　) A． B． C． D． B　[由a1＝1得a2a1＝a1＋(－1)2，则a2＝2； 由a3a2＝a2＋(－1)3，得a3＝；同理得a4＝3，a5＝，故＝＝，故选B.] 4．已知数列{an}的通项为an＝，则满足an＋1<an的n的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[因为an＝，an＋1<an， 所以<，化简得<0， 即(2n－9)(2n－11)<0， 又n∈N*，所以解得<n<， 即n＝5. 因此满足an＋1<an的n的值为5.] 5．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项an等于(　　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n D　[∵an＋1－an＝－1， ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋ ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式．故数列的通项an＝3－n(n∈N*).] 二、填空题 6．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________． 解析：　根据an＋1＝递推得a8＝＝＝1－＝1－＝a5＝＝＝1－＝1－＝a2＝，因为a8＝2，所以a1＝. 答案：　 7．(2020·江西南昌期中)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝________． 解析：　数列{an}的前n项和Sn＝2n＋n，则a5＝S5－S4＝(25＋5)－(24＋4)＝17. 答案：　17 8．(2020·上海期末)数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2＋2n＋3，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝____________． 解析：　因为数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2＋2n＋3，n∈N*， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n＋3－[(n－1)2＋2(n－1)＋3]＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝1＋2＋3＝6不适合上式， 故数列{an}的通项公式an＝ 答案：　 三、解答题 9．根据下列条件，写出数列的前4项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)； (2)a1＝1，an＋1＝an＋(n∈N*). 解析：　(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9. 猜想an＝(n－1)2(n∈N*). (2)a1＝1，a2＝，a3＝2，a4＝. 猜想an＝(n∈N*). 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn的最大或最小值． 解析：　(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[(n－1)2－4(n－1)]＝2n－5 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＝－3满足上式， 则an＝2n－5. (2)Sn＝n2－4n＝(n－2)2－4 结合二次函数的性质可知当n＝2时，Sn有最小值－4，无最大值． ☆ 11．(2020·江苏徐州期末)已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋λn(n∈N*，λ∈R)，若{an}是递减数列，则λ的取值范围为(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．(－∞，6) D．(－∞，6] C　[∵数列{an}是递减数列，∴an＞an＋1， ∴－2n2＋λn＞－2(n＋1)2＋λ(n＋1)，解得λ＜4n＋2， ∵数列{4n＋2}单调递增，∴n＝1时取得最小值6， ∴λ＜6.] 12．已知数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n－21，前n项和为Sn，若m>n，则Sm－Sn的最大值是(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 B　[依题意，Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋am，所以要使Sm－Sn的值最大，则an＋1＋an＋2＋…＋am