10 课时作业(十) 数列求和（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(十)　数列求和 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．(2020·湖南娄底期末)记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝4，S19＝114，则S15＝(　　) A．45 B．75 C．90 D．95 B　[等差数列{an}中a6＝4，S19＝114， 所以解得，a1＝，d＝， 则S15＝15a1＋d＝＋＝75.] 2．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　) A．1＋2n B．2＋2n C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n C　[由题意得an＝1＋2n－1，所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.] 3．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝前n项的和为(　　) A．4 B．4 C．1－ D．－ A　[因为an＝＝＝， 所以bn＝＝＝4. 所以Sn ＝4 ＝4.] 4．在数列{an}中，已知Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，则S15＋S22－S31的值是(　　 ) A．13 B．－76 C．46 D．76 B　[S15＝－4×7＋a15＝－28＋57＝29，S22＝－4×11＝－44，S31＝－4×15＋a31＝－4×15＋121＝61，S15＋S22－S31＝29－44－61＝－76.故选B.] 5．数列1，，，…的前n项和为(　　) A． B． C． D． B　[该数列的通项为an＝， 分裂为两项差的形式为an＝2，令n＝1，2，3…， 则Sn＝2， ∴Sn＝2＝.] 二、填空题 6．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，S50＝________． 解析：　S50＝1－2＋3－4＋…＋49－50＝(－1)×25＝－25. 答案：　－25 7．如果一个数列{an}满足an＋an＋1＝H(H为常数，n∈N*)，则称数列{an}为等和数列，H为公和，Sn是其前n项的和，已知等和数列{an}中，a1＝1，H＝－3，则S2 011等于________． 解析：　S2 011＝a1＋(a2＋a3＋…＋a2 011)＝a1＋1 005×H＝1＋1 005×(－3)＝－3 014. 答案：　－3 014 8．求和：Sn＝1＋＋＋＋＋＋…＋＝________． 解析：　被求和式和第k项为 ak＝1＋＋＋…＋＝＝2. 所以Sn＝2 ＝2 ＝2＝2 ＝2n＋－2. 答案：　2n＋－2 三、解答题 9．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn. 解析：　(1)设等差数列{an}的公差是d. 依题意a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，从而d＝－3. 所以a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2. (2)由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列， 得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1， 所以bn＝3n－2＋cn－1. 所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1) ＝＋(1＋c＋c2＋…＋cn－1). 从而当c＝1时，Sn＝＋n＝； 当c≠1时，Sn＝＋. 10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a2＝5，S4＝14. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝2an，求{bn}的前n项和Tn. 解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则由a1＋a2＝5，S4＝14得， 即 解得a1＝2，d＝1， 所以an＝2＋(n－1)＝n＋1. (2)由(1)可知，bn＝2an＝2n＋1， 则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝22＋23＋…＋2n＋1， ＝＝4(2n－1)＝2n＋2－4. ☆ 11．(多选)设{an}是等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn等于(　　 ) A．＋ B．＋ C．2n D．n2＋n AC　[由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d. 又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6， 即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0. ∴d＝，或d＝0， ∴Sn＝na1＋d＝＋，或Sn＝2n.] 12．(2020·河南开封期末)公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N*).此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记bn＝a－anan＋2(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S2 020＝(　　) A．0 B．