9 课时作业(九) 数列的应用（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(九)　数列的应用 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．(2020·重庆期末)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A． B． C． D． A　[设5人分到的面包数量从小到大记为{an}，设公差为d， 依题意可得，S5＝＝5a3＝100， ∴a3＝20，a3＋a4＋a5＝7(a1＋a2)， ∴60＋3d＝7(40－3d)，解得d＝， ∴a1＝a3－2d＝20－＝．] 2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天走了(　　) A．60里 B．48里 C．36里 D．24里 D　[记每天走的路程里数为，可知是以公比q＝的等比数列， 因为S6＝378，所以＝378，解得a1＝192， 所以a4＝192×＝24.] 3．某钢厂的年产量由2010年的75万吨增加到2020年的90万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2030年的年产量将达(　　) A．102万吨 B．105万吨 C．108万吨 D．110万吨 C　[设年增长率为x，则由条件可知，各年产量成等比数列，记为{an}，设2011年产量为a1＝75(1＋x)，则a10＝75·(1＋x)10＝90，∴(1＋x)10＝，则2030年的年产量为a20＝a10(1＋x)10＝90(1＋x)10＝108(万吨).] 4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟四斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿4斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿了多少斗(　　) A． B． C． D． B　[羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列，公比为2，设羊主人赔偿x斗粟， 则x＋2x＋4x＝4，解得：x＝； ∴羊主人赔偿斗粟，牛主人赔偿4×＝斗粟，∴牛主人比羊主人多赔偿－＝斗粟．] 5．一父母为了给他们的孩子准备上大学的费用，从婴儿一出生就到银行存入一笔钱，以后每年生日都到银行储存相同数目的钱，假设大学学费4年共需4万元，若银行储蓄年利率为2%，每年按复利计算，为使孩子到十八周岁上大学时本金和利息共有4万元，则父母每年至少应存入(　　) (参考数值：1.0217≈1.400，1.0218≈1.428，1.0219≈1.457) A．1 716元 B．1 960元 C．1 831元 D．1 869元 C　[设每年存入的钱为a元，依题意得： a(1＋2%)18＋a(1＋2%)17＋…＋a(1＋2%)＝40 000， ∴a· ＝a· ＝50a×0.437＝40 000，得a≈1 831.] 二、填空题 6．(2020·福建厦门双十中学高一期中)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子．这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________． 解析：　设第一个人分到的橘子个数为a1，由题意得S5＝5a1＋×3＝60，解得a1＝6，则a5＝a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18. 答案：　18 7．某人从1月起每月的第一天存入100元，到下一年1月第一天取出全部本金和利息，已知月利率为0.165%(按单利计息)，那么实际取出________元． 解析：　第1个月存款利息：100×12×0.165%， 第2个月存款利息：100×11×0.165%， … 第12个月存款利息：100×1×0.165%. ∴所有利息为：100×0.165%×(1＋2＋3＋…＋11＋12)＝100×0.165%×＝12.87. 故实际取出100×12＋12.87＝1 212.87(元). 答案：　1 212.87 8．某厂为试制新产品，需增加某些设备，若购置这些设备，需一次付款25万元，若租赁这些设备，每年初需付租金3.3万元，已知一年存款的年利率为2.55%(按复利计息)，则选用________(方案更好)(设备寿命为10年). 解析：　方法一：若购置设备，则25万元10年后的价值为25(1＋2.55