4 课时作业(四) 等差数列的性质（课时作业）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【金版新学案】同步导学（人教B版）

课时作业(四)　等差数列的性质 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ☆ 一、选择题 1．(2020·重庆八中高三月考)在等差数列{an}中，a5＝7，则a3＋a4＋a6＋a7＝(　　) A．21　　　　　　　　 B．28 C．35 D．42 B　[等差数列{an}中，a3＋a7＝a4＋a6＝2a5，故a3＋a4＋a6＋a7＝4a5＝28.] 2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝36，a11＋a12＋a13＝84，则a5＋a9＝(　　) A．30 B．35 C．40 D．45 C　[因为a1＋a2＋a3＝36，a11＋a12＋a13＝84，由等差数列的性质，得3a2＝36，3a12＝84， ∴3a2＋3a12＝36＋84＝120.∴a2＋a12＝40， ∴a5＋a9＝a2＋a12＝40.] 3．(2020·天津期末)在等差数列{an}中，a1＋a2＝3，a5＋a6＝7，则a9＋a10＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 D　[(a1＋a2)＋(a9＋a10)＝2(a5＋a6)，则a9＋a10＝2×7－3＝11，故选D.] 4．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.] 5．(多选)下列关于等差数列的命题中正确的有(　　) A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列 B．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列 C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列 D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列 BCD　[对于A，取a＝1，b＝2，c＝3可得a2＝1，b2＝4，c2＝9，显然，a2，b2，c2不成等差数列，故A错； 对于B，取a＝b＝c，可得2a＝2b＝2c，故B正确； 对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b， ∴(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)， 即ka＋2，kb＋2，kc＋2成等差数列，故C正确； 对于D，a＝b＝c≠0⇒＝＝，故D正确． 综上可知，B，C，D正确，故选BCD.] 二、填空题 6．(2020·山东青岛期中)在等差数列{an}中，若a1＋a5＋a9＝4π，则a5＝________，tan (a2＋a8)＝________． 解析：　等差数列{an}中，由等差数列的性质可得， a1＋a5＋a9＝3a5＝4π， 则a5＝， tan (a2＋a8)＝tan 2a5＝tan ＝tan ＝－. 答案：　　－ 7．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列． 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________． 解析：　第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为公差的等差数列，其第n＋1项为n＋n·n＝n2＋n.所以数表中的第n行第n＋1列的数是n2＋n. 答案：　n2＋n 8．在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________． 解析：　由5是a3和a6的等差中项，可得a3＋a6＝2×5＝10，则由等差数列的性质可得a1＋a8＝a3＋a6＝10. 答案：　10 三、解答题 9．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，求这三个数的积． 解析：　设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 ∴这三个数为－1，3，7或7，3，－1. ∴这三个数的积为－21. 10．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48.求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52.求公差d. 解析：　方法一：(1)直接化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12. (2)直接化成a1和d的方程如下： 解得或 ∴d＝3或－3. 方法二：(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17， 解a2·a5＝52，a2＋a5＝17， 得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. ☆ 11．已知△ABC中三边a，b，c成等差数列，，，也成等差数列，则△ABC的形状为__