数列（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练

数列（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练 解析 1.（2022·河南新乡·二模（文））已知数列为等差数列，数列为等比数列，，且． (1)求与的通项公式；(2)设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和． 【答案】(1)，(2) 【解析】(1)解：因为，当时，，由，解得，又由，当时，可得，两式相减得，当时，适合上式，所以，因为为等差数列，为等比数列，所以的公比为，所以，所以． (2)解：由，可得数列的前n项和为，又由，可得数列的前n项和， 则，所以数列的前n项和为， 所以数列的前n项和． 2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知是等差数列，是公比不为的等比数列，，且，，. (1)求数列与的通项公式；(2)求数列的前项和为. 【答案】(1) ， .(2) . 【解析】(1) ，解得：或（舍），所以，； (2)由题意知，则……①， ……②①②得： ，所以 ； 3．（2022·安徽安庆·二模（理））已知数列的前n项和为，且满足，. (1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和. 【答案】(1)，(2) 【解析】(1)解：时，，解得.当时，，故，所以，故. 符合上式故的通项公式为，. (2)解：结合（1）得， 所以. 4．（2022·黑龙江·哈九中二模（理））已知数列满足，． (1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求的前n项和 【答案】(1)证明见解析，(2) 【解析】(1)当时，，得，当时，有，， 相除得整理为：，即，∴为等差数列，公差，首项为；所以，整理为：. (2)， 5．（2022·河北石家庄·二模）设数列的前n项和为.已知， (1)求数列的通项公式；(2)数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)解：当时，由，得，两式相减得， 所以，，，所以，所以数列是以1为首项，为公比得等比数列，是以； (2)解：，则， ，两式相减得，所以. 6．（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列； (2)解：由（1）得，得，所以，设的前n项和为， 则，①，② 由①-②，得 ，则， 故. 7．（2022·江苏七市·二模）已知数列的前项和为，. (1)从下面两个结论中选择一个进行证明，并求数列{an}的通项公式； ①数列是等差数列；②数列是等比数列； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1)选①证明见解析，；选②证明见解析，(2) 【解析】(1)解：若选数列是等差数列，∵①，∴②， ∴②①得，即.且， 是首项为，公差为1的等差数列.若选数列是等比数列， ∵①，∴②，∴②①得，即. ∴，整理得∵， 是等比数列且首项为公比为.，∴ (2)解：∵，，∴， 8．（2022·辽宁·沈阳二中二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)等比数列的前项和为，且，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足的的最大值. ①；②；③. （注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.） 【答案】(1)；(2)10. 【解析】(1)设等差数列的公差为，因，则，即，于是得， 从而有，所以的通项公式是. (2)选择①②：设等比数列的公比为，因，，由(1)知， ，，而，则，即有，于是得，因，即，而，解得，则，所以满足的的最大值为10.选择①③：设等比数列的公比为， 因，，由(1)知，则，，由，解得，又，则有， 于是得，因，即，而，解得，则， 所以满足的的最大值为10.选择②③：设等比数列的公比为， 因，由(1)知，，则，解得或，而，则有， 于是得，因，即，而，解得，则， 所以满足的的最大值为10. 9．（2022·甘肃平凉·二模（理））在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答 问题：在数列{}中，已知___________. (1)求{}的通项公式(2)若求数列{}的前n项和 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1)(2) 【解析】(1)选择①.因为，所以.所以{}是常数列. 又，所以故选择②因为     ①② 所以当时，，解得当时，     ② 故时，由①－②可得，，所以又，所以 (2)由（1）可知则.. 两式相减得.故 10．（2022·四川达州·二模（理））已知数列满足，，为的前n项和. (1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和满足对一切正奇数n恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)∵，，∴，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列， ∴； (2)由题可得，∴， ∴，n为奇数，∴当 n为奇数，且时， ， 当时，也适合，故当 n为奇数时，， 又对一切正