立体几何（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练

立体几何（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练 解析 1．（2022·江苏盐城·二模）如图，在三棱柱中，所有棱长均为. (1)证明：平面平面；(2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】(1)取中点，连接则.，，∴△为等边三角形， ，∵，，，， 平面，平面，∴平面平面. (2)由题可知二面角的正弦值与二面角正弦值相等.平面，过作于点，连接，即为所求二面角的平面角，∵，，.故二面角的正弦值为. 2．（2022·辽宁·沈阳二中二模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，点是的中点. (1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)如图，连接，∵四边形是正方形，∴.又平面，平面，∴，∵平面，，∴平面，又平面，∴ (2)易知，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，∴，，，，， ∴，，.设平面的法向量为，则， 令，得.设直线与平面所成角为，由图可知，则.即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（2022·安徽滁州·二模（理））如图，多面体中，四边形是边长为4的菱形，，平面平面平面． (1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解；(2) 【解析】(1)取中点，连接．因为是等腰三角形，所以，． 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又因为平面，所以，又，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面． (2)连接交于，取中点，连接，所以．因为平面，所以平面，因为平面，所以，，又因为四边形是菱形，所以，所以两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，，，，，． 设平面的法向量为，则令，得， 又平面的法向量为．设二面角的大小为，则，．所以二面角的正弦值为． 4．（2022·福建漳州·二模）如图，圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，点D为棱的中点，为弧上一点，且 (1)求三棱锥的体积；(2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)过作交于点E，因为，，所以为正三角形，所以E为中点，即,又因为平面平面，面面，，面，所以面，即面因为D为的中点，所以，又， 即，即，则的面积为1， (2)因为在圆柱中，轴截面是正方形，取弧的中点C，所以两两垂直，以，，为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意知，，，， ，， 设平面的法向量，则，即 ,取，则，，则，平面的法向量可取所以，设二面角为，则为锐角，所以，所以二面角的余弦值为. 5．（2022·湖南岳阳·二模）如图，在直三棱柱中，D、E分别是棱、上的点，，． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面ABC所成的角为45°，且，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)解：取中点，AB中点O，连交于F，连，， 则，∵，∴，∴是平行四边形， ∴，∵，∴．又在直三棱柱中，平面，∴, 结合，∴平面，∴平面，又平面，∴平面平面． (2)由（1）知，OC、OB、两两垂直，建立如图空间直角坐标系，取上一点M，使，连AM，则，又平面ABC，与平面ABC所成角为， ∴，∴，不妨设，则，， ，，∴，，，， ，，，．设平面的一个法向量为， 则，∴，取，得，平面的一个法向量， ，∴二面角的平面角的正弦值为． 6．（2022·广东肇庆·二模）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，． (1)证明：；(2)若为等边三角形，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】(1)证明：如图1，连接. 由，，，所以在中，由余弦定理可得， 故由勾股定理得，又，，所以平面，又平面，所以． (2)解：如图2，设为的中点，连接， 由（1）可知，故，又，所以，因为，所以平面PEB， 所以，又，，故平面， 综上，两两垂直，故以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系．由，得， 则，，，，则，，． 设为平面的法向量，则，即，可取， 设为平面的法向量，则，即，可取， 所以．所以二面角的余弦值为． 7．（2022·上海·二模）如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且． (1)求证：CD⊥平面PAD；(2)求二面角F – AE – P的余弦值； (3)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)直线AG不在平面AEF内，详见解析． 【解析】(1)因为平面，平面，所以PA⊥CD，又因为AD⊥CD，，所以CD⊥平面PAD. (2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD，平面， 所以PA⊥AM，PA⊥