概率统计（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练

概率统计（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练 解析 1．（2022·山西临汾·二模（理））生产实践中工人生产零件长度的总体密度曲线是正态分布曲线．甲、乙2名工人生产零件长度的总体密度曲线分别是，，其中． (1)判断甲、乙2名工人生产水平的高低，并说明理由； (2)现从甲乙2名工人生产的零件中分别抽取3件，2件．变量X表示这5件零件中长度小于标准长度（平均值的估计值）的件数，写出X的分布列，并求． 【答案】(1)乙工人生产水平高，理由见解析(2)分布列见解析，， 【解析】(1)因为甲、乙2名工人生产零件长度的平均值相等，而，说明乙工人的生产水平较稳定，从而认为乙工人生产水平高． (2)由题可知，所以，．X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 所以，． 2．（2022·陕西咸阳·二模（理））某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均存款y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 变量t，y具有线性相关关系.现有甲､乙､丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. (1)试判断谁的计算结果正确？ (2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差大于0.1，则称该数据为“不可靠数据”，若误差为0，则称该检测数据是“完美数据”，这两者之外的其余数据均称为“可靠数据”.现剔除不可靠数据，从剩余数据中随机抽取2个，求其中“完美数据”个数的分布列和数学期望. 【答案】(1)丙的计算结果正确；(2)分布列答案见解析，数学期望：. 【解析】(1)由题知：，， 将代入甲方程得：，将代入乙方程得：， 将代入丙方程得：，所以丙的计算结果正确； (2)由回归方程估计得到的数据分别为：，，，，，，，则为1个不可行数据，，为完美数据，其余为可靠数据. 则剔除“不可靠数据”后，共有6个数据，其中“完美数据”有2个，从中随机抽取2个， 设其中“完美数据”个数为，则，且： ，，， 则的分布列为： 0 1 2 的数学期望为：. 3．（2022·甘肃平凉·二模（理））一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. (1)求的概率； (2)若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于的零件个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1)0.1(2)分布列见解析，数学期望为0.2 【解析】(1)因为零件尺寸服从正态分布.所以， 因为，所以. (2)依题意可得，所以.， ，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 0.81 0.18 0.01 所以（或） 4．（2022·广西桂林·二模（理））某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出100人进行统计，其中对教师教学水平满意的学生人数为总数的60%，对教师管理水平满意的学生人数为总数的75%，对教师教学水平和教师管理水平都满意的有40人． (1)完成对教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为对教师教学水平满意与教师管理水平满意有关； 对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平满意 对教师教学水平不满意 合计 (2)若将频率视为概率，随机从学校中抽取3人参与此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平都满意的人数为随机变量X；求X的分布列和数学期望． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，有；(2)分布列见解析，. 【解析】(1)解：由题意可得关于对教师教学水平和教师管理水平评价的22列联表： 对教师管理水平满意 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平满意 40 20 60 对教师教学水平不满意 35 5 40 合计 75 25 100 ， 所以有97.5%的把握认为教师教学水平满意与教师管理水平满意有关； (2)解：对教师教学水平和教师管理水平都满意的概率为，且随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 其中；；；； 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则． 5．（202