导数（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练

导数（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练 原卷 1．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小； (2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值. 2．（2022·四川德阳·二模（理））已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若对于任意的，恒成立，求的最小值. 3．（2022·安徽安庆·二模（理））已知函数，a>0. (1)求函数的最值；(2)当a>1时，证明：函数有两个零点. 4．（2022·广西柳州·二模（理））已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围. 5.（2022·福建漳州·二模）已知 (1)若，求的最小值； (2)当时，，求a的取值范围 6．（2022·湖南岳阳·二模）已知函数，其中. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数在上恰有两个极小值点、，求的取值范围. 7．（2022·江苏·南京市宁海中学二模）已知且，函数. (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 8．（2022·江苏盐城·二模）设函数，为自然对数的底数，. (1)若，求证：函数有唯一的零点； (2)若函数有唯一的零点，求的取值范围. 9．（2022·河南开封·二模（理））已知函数. (1)当时，求在处的切线与y轴的交点坐标； (2)已知，若时，恒成立，求m的取值范围. 10．（2022·浙江杭州·二模）已知函数在时取到极大值. （1）求实数a､b的值； （2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数t的取值范围. 11．（2022·天津·南开中学二模）已知函数在点(，)处的切线方程为． (1)求a、b； (2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)； (3)若关于的方程有两个实数根、，且，证明： 12．（2022·广东茂名·二模）已知函数．其中实数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：关于x的方程有唯一实数解． 学科网（北京）股份有限公司 $导数（解答题）—2022届全国各地区高三数学（二模）试题选练 解析 1．（2022·辽宁·沈阳二中二模）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小； (2)求正弦曲线（）曲率的平方的最大值. 【答案】(1)；(2)1. 【解析】(1)由，，则， 由，，则，所以； (2)由，，则，，令，则，故，设，则，在时，递减， 所以，最大值为1. 2．（2022·四川德阳·二模（理））已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若对于任意的，恒成立，求的最小值. 【答案】（1）单调速增区间是，单调递减区间是；（2）最小值为. 【解析】解：（1）因为，所以，.令，得. 当时，；当时，. 故的单调速增区间是，单调递减区间是. （2）.因为，，又，所以，则.令，则在上单调递增.因为当时，，所以.因为，所以，使得.且当时，，则，当时，，则，所以在上单调递增，在上单调递减.故.由，得. 由，得，即.结合，得，所以.令.则，所以在上单调递增，所以，即.故的最小值为. 3．（2022·安徽安庆·二模（理））已知函数，a>0. (1)求函数的最值；(2)当a>1时，证明：函数有两个零点. 【答案】(1)最大值为，没有最小值(2)证明见解析 【解析】(1)，由于，，所以， 设，则，故函数在区间上单调递减，由于，， 故存在，使.故当，，则，当时，，则， 从而存在，的单增区间为，单减区间为. 函数的最大值为，由于，所以， 故.所以函数的最大值为，没有最小值. (2)设＞1），则，当时，，故在上单调递增， 故，即.当时，由（1）知，由于， 由（1）知，且，，故， 即，所以，且， 而，故函数有两个零点. 4．（2022·广西柳州·二模（理））已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析(2) 【解析】(1)函数的定义域为，，①当时，由得，即的单调递增区间是；由得，即单调递减区间是.②当时，由得，即的单调递增区间是）；由得，即单调递减区间是. (2)当时，由（1）知，函数在上道减，所以，所以 对任意，存在，使即等价为恒成立即可，即.∴，