第一章 定积分的概念-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：定积分的概念 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．定积分的概念 一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝ f(ξi)． 当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作：f(x)dx，即f(x)dx＝ f(ξi)． 2．定积分的相关名称 3．定积分的几何意义 (1)前提条件：函数f(x)在区间[a，b]上连续，f(x)≥0. (2)定积分f(x)dx的几何意义：由y＝0，曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b围成的曲边梯形的面积． 4．定积分的基本性质 (1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)． (2)[f(x)±g(x)]dx＝(x)dx±g(x)dx. (3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)． 5.用定积分求曲边图形面积时，不判断曲边图形位于x轴上方、还是下方，直接求解而出现错误．避免出错的措施为： (1)当对应的曲边图形位于x轴上方时(图①)，定积分的值取正值，且等于曲边图形的面积； (2)当对应的曲边图形位于x轴下方时(图②)，定积分的值取负值，且等于曲边图形面积的相反数； (3)当位于x轴上方的曲边图形面积等于位于x轴下方的曲边图形面积时，定积分的值为0(图③)，且等于位于x轴上方的曲边图形面积减去位于x轴下方的曲边图形面积． 题型一：利用定义计算定积分 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f(x)dx＝f(t)dt.(　　) (2)f(x)dx的值一定是一个正数．(　　) (3)(x2＋2x)dx＝x2dx＋2xdx.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.利用定积分的定义，计算(3x＋2)dx的值． [解]　令f(x)＝3x＋2. (1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝. (2)近似代替、求和 取ξi＝(i＝1,2，…，n)， 则Sn＝f()·Δx ＝ · ＝ ＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5 ＝×＋5＝－. (3)取极限 (3x＋2)dx＝Sn＝ ＝. 拓展提升 利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值； (2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强． 4.求由直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线f(x)＝x2＋2x＋1围成曲边梯形的面积． 解　将区间[0,1]等分成n个小区间，则第i个小区间为，等i个小区间的面积为 ΔSi＝f·＝·， Sn＝ · ＝(12＋22＋32＋…＋n2)＋(1＋2＋3＋…＋n)＋1 ＝·＋·＋1 ＝＋＋2， S＝Sn＝ ＝， 所以所求的曲边梯形的面积为. 题型二：利用定积分的几何意义计算定积分 5.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值： 拓展提升 利用定积分所表示的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，直线x＝b及x轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形． 6.用定积分的几何意义求： 解　(1)如图1，阴影部分面积为＝，从而 (3x＋2)dx＝. 图1　　　　　　　图2 题型三：利用定积分的性质求定积分 7.　已知x3dx＝，x3dx＝，x2dx＝，x2dx＝，求： (1)(3x3)dx； (2)(6x2)dx； (3)(3x2－2x3)dx. [解]　(1)(3x3)dx＝3x3dx ＝3＝3×＝12. (2)(6x2)dx＝6x2dx＝6＝6×＝126. (3)(3x2－2x3)dx＝(3x2)dx－(2x3)dx ＝3x2dx－2x3dx＝3×－2×＝7－＝－. 拓展提升 8.已知f(x)＝求f(x)在区间[0,5]上的定积分． 1.求阴影部分面积可分两类： (1)规则图形：按照面积的相关公式直接计算； (2)不规则图形：转化为规则图形或曲边梯形，再求面积的和或差，曲边梯形面积利用定积分来计算；改变积分变量，使问题简化. 2.可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分. 3.定积分的几何性质可以帮助简化