第一章 导数的计算2-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：导数的计算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f[g(x)]． 在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集． 2．复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即yx′＝yu′·ux′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导． 3.使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x. (3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y＝sin的导数，设y＝sinu，u＝2x＋，则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos. (4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 题型一：简单复合函数求导问题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则f(x)＝x2.(　　) (2)函数f(x)＝xex的导数是f′(x)＝ex(x＋1)．(　　) (3)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)若f(x)＝2x＋3，则f′(x)＝________. (2)函数f(x)＝2sinx－cosx，则f′(x)＝________. (3)函数f(x)＝－，则f′(x)＝________. 答案　(1)2　(2)2cosx＋sinx　(3) 3.求下列函数的导数． (1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln (6x＋4)； (3)y＝sin(2x＋1)；(4)y＝. [解]　(1)∵y＝(3x－2)2由函数y＝u2和u＝3x－2复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(3x－2)′＝6u＝18x－12. (2)∵y＝ln (6x＋4)由函数y＝ln u和u＝6x＋4复合而成，∴yx′＝yu′·ux′＝(ln u)′·(6x＋4)′＝＝＝. (3)函数y＝sin(2x＋1)可以看作函数y＝sinu和u＝2x＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝(sinu)′·(2x＋1)′＝2cosu＝2cos(2x＋1)． (4)函数y＝可以看作函数y＝和u＝3x＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有yx′＝yu′·ux′＝()′·(3x＋5)′＝＝ . 拓展提升 复合函数求导的步骤 4.求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝esinx； (3)y＝sin；(4)y＝5log2(2x＋1)． 解　(1)设y＝u，u＝1－2x2， 则y′＝(u)′(1－2x2)′＝·(－4x) ＝(1－2x2) (－4x)＝ . (2)设y＝eu，u＝sinx， 则yx′＝yu′·ux′＝eu·cosx＝esinxcosx. (3)设y＝sinu，u＝2x＋， 则yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos. (4)设y＝5log2u，u＝2x＋1， 则y′＝5(log2u)u′(2x＋1)x′＝＝. 题型二：复合函数与导数的运算法则的综合应用 5.求下列函数的导数． (1)y＝x(x＋1)(x＋2)(x＞0)； (2)y＝sin2. [解]　(1)y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)＝3x2＋6x＋2. (2)设y＝u2，u＝sinν，ν＝2x＋， 则yx′＝yu′·uν′·νx′＝2u·cosν·2 ＝4sinνcosν＝2sin2ν＝2sin. [解法探究]　此题有没有其他解法呢？ [解]　(1)因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x， 所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2. (2)y′＝′＝2sin·sin2x＋′＝2sin·cos·′＝2sin. 拓展提升 求复合函数的导数需处理好的几个环节 (1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量； (2)中间变量的