第一章 导数的计算1-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：导数的计算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．几个常见函数的导数 2．基本初等函数的导数公式 3．导数的运算法则 设两个函数分别为f(x)和g(x)． 4．导数的加法与减法法则 (1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1±f2±…±fn)′＝f1′±f2′±…±fn′. (2)两个函数和(或差)的导数还可推广为[mf(x)±ng(x)]′＝mf′(x)±ng′(x)(m，n为常数)． 5.基本初等函数的四类求导公式 (1)第一类为幂函数，y′＝(xα)′＝α·xα－1(注意幂指数α可推广到全体实数)．对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数． (2)第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数．注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号． (3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当a＝e时，ex的导数是(ax)′的一个特例． (4)第四类为对数函数，y′＝(logax)′＝，也可记为(logax)′＝·logae，当a＝e时，ln x的导数也是(logax)′的一个特例． 题型一：利用导数公式及运算法则求导 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y＝，则y′＝×2＝1.(　　) (2)若f′(x)＝sinx，则f(x)＝cosx.(　　) (3)若f(x)＝－，则f′(x)＝ .(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)′＝________. (2)(2x)′＝________. (3)若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则f′(x)－g′(x)＝________. 答案　(1)－　(2)2xln 2　(3)3x2－ 3.求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝log5x；(3)f(x)＝(x＋1)2(x－1)； (4)f(x)＝2－2sin2；(5)f(x)＝. [解]　(1)y′＝()′＝(x)′＝x＝. (2)y′＝(log5x)′＝. (3)因为f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝(x2＋2x＋1)(x－1)＝x3＋x2－x－1，所以f′(x)＝3x2＋2x－1. (4)因为f(x)＝2－2sin2＝1＋cosx，所以f′(x)＝－sinx. (5)解法一：f′(x)＝＝. 解法二：因为f(x)＝＝1＋， 所以f′(x)＝＝. 拓展提升 (1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导． (2)遇到函数的表达式是乘积形式或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导． 4.求下列函数的导数． (1)y＝；(2)y＝x3·ex；(3)y＝. 解　(1)y′＝′＝(x)′＝－x＝－x. (2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′ ＝3x2·ex＋x3·ex＝x2ex(3＋x)． (3)y′＝′＝ ＝＝－. 题型二：曲线切线方程的确定与应用 5.过原点作曲线y＝ex的切线，求切点的坐标及切线的斜率． [解]　因为(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，e x0)， 则过该切点的直线的斜率为e x0， 所以所求切线方程为y－e x0＝e x0 (x－x0)． 因为切线过原点，所以－e x0＝－x0·e x0，x0＝1. 所以切点为(1，e)，斜率为e. [条件探究]　已知点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． [解]　根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图． 则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1. y′＝(ex)′＝ex，e x0＝1，得x0＝0， 代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)． 利用点到直线的距离公式得距离为. 拓展提升 利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标． 6.已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程． 解　因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)， 则y′| x＝x0＝2x0. 又因为PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ， 所以k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M. 所以所求的切线方程为y－＝x－， 即4x－4y－1＝0. 题型三：导数的综合应用 7.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲