第一章 变化率问题 导数的概念2-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：导数的几何意义 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．割线斜率与切线斜率 设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是＝. 当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． 3．函数的导数 当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝ . 4.“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量． (2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝ ＝ . (3)导函数也简称导数． (4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值． 题型一：求切线方程 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．(　　) (2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　) (3)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________． (2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________． (3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________. 答案　(1)45°　(2)x＋y－3＝0　(3)2x 3.求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程． [解]　易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得 Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1 ＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3. ＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2. 当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5. 故点P处的切线斜率为k＝5. 所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0. [条件探究]　将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？ [解]　∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)． 由本例知k＝f′(x0)＝3x＋2，切线方程为y－y0＝(3x＋2)(x－x0)． 又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x＋2)(0－x0)． 又∵y0＝x＋2x0－1得x＝－1，即x0＝－1， ∴切线方程为5x－y＋1＝0. 拓展提升 利用导数的几何意义求切线方程的分类 (1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程． (2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程． 4.已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线． 解　(1)∵f′(x)＝ ＝ ＝ [(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2， ∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1， ∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为P(x0，x)， 由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x， 故切线方程为y－x＝3x(x－x0)． 又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得 1－x＝3x