第一章 变化率问题 导数的概念1-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：变化率问题　导数的概念 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．平均变化率 函数f(x)从x1到x2的平均变化率＝. 若函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，则函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率是＝. 2．瞬时变化率 设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数L，则常数L称为函数f(x)在x0的瞬时变化率，记作＝L. 3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 一般地，函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0.即f′(x0)＝ . 简言之，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 4.导数概念的理解 (1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0. (2)若f′(x0)＝ 存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值． (3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0， 于是f′(x0)＝limx→x0 与概念中的f′(x0)＝ 意义相同． 题型一：求函数的平均变化率 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　) (3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做 (1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________． (2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________． (3)函数y＝f(x)＝在x＝－1处的导数可表示为________． 答案　(1)2　(2)2　(3)f′(－1)或y′|x＝－1 3.求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值． [解]　函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ＝ ＝＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. [结论探究]　在本例中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小． [解]　由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx. 当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5； 当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5； 当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5. 所以k1<k2<k3. 拓展提升 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0； (3)得平均变化率＝. 4.(1)若函数f(x)＝x2－1，图象上点P(2,3)及其邻近一点Q(2＋Δx,3＋Δy)，则＝(　　) A．4 B．4Δx C．4＋Δx D．Δx (2)求y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率________． 答案　(1)C　(2) 解析　(1)∵Δy＝(2＋Δx)2－1－(22－1)＝4Δx＋(Δx)2，∴＝＝4＋Δx. (2)∵Δy＝－，∴y＝在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝＝. 题型二：求平均速度与瞬时速度 5.若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝求： (1)物体在t∈[3,5]上的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t＝1时的瞬时速度． [解]　(1)因为物体在t∈[3,5]上的时间变化量为Δt＝5－3＝2， 物体在t∈[3,5]上的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近的平均变化率为 ＝＝3Δt－18， 所以物体在t＝0处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－18)＝－18，即物体的初速度为－18 m/s. (3)物体在t＝1时的瞬时