第一章 生活中优化问题举例-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：生活中的优化问题 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数，可以解决一些生活中的优化问题． 2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域在开区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值． 3．解决优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 4.解决生活中的优化问题应当注意的问题 (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f′(x)＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，我们可直接判断这就是最大(小)值． (3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间． 题型一：面积、容积的最值问题 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实际问题中列出函数模型后，其定义域上需函数关系式本身有意义即可．(　　) (2)实际问题中f′(x)＝0只有一个解且是极值点时，它就是f(x)的最值点．(　　) 答案　(1)×　(2)√ 2．做一做 (1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该厂家获取最大年利润的年产量为________． (2)某工厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________． 答案　(1)9　(2)32 m,16 m 3.用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ [解]　设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3， 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)， V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)． 令V′(x)＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)． 当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数； 当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数． 因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600. 故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3. 拓展提升 在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，再利用导数计算，但一定要注意自变量的取值范围． 4.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边长比另一边长长0.5 m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求它的最大容积． 解　设容器底面一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，高为＝(3.2－2x) m . 由 解得0<x<1.6. 设容器的容积为y m3， 则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x， 所以y′＝－6x2＋4.4x＋1.6. 令y′＝0，则15x2－11x－4＝0， 解得x1＝1，x2＝－(舍去)． 在定义域(0,1.6)内只有x＝1使y′＝0，x＝1是函数y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x在(0,1.6)内的唯一的极大值点，也就是最大值点． 因此，当x＝1时，y取得最大值，ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8，这时高为3.2－2×1＝1.2(m)． 故高为1.2 m时，容器的容积最大，最大容积为1.8 m3. 题型二：费用(用材最省问题) 5.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元(a≠0)，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？ [解]　设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x， ∴BC＝＝ 又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0≤x≤