第一章 函数的最大(小)值与导数-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：函数的最大(小)值与导数 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得． 2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 3.函数f(x)在区间(a，b)上的最值 在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况： 如图，图①中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值； 图②中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值； 图③中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值； 图④中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值． 题型一：求已知函数的最值 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． (3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________. 答案　(1)无　(2)15　(3)1 3.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)． (1)若f′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值． [解]　(1)f′(x)＝3x2－2ax.因为f′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0. 又当a＝0时，f(1)＝1，f′(1)＝3. 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0. (2)令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. 当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4A． 当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0. 当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ [条件探究]　将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？ [解]　令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a． 当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0； 当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减， 从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a； 当－1<a<0，即－<a<0时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)max＝f＝－a3. 综上所述，f(x)max＝ 拓展提升 常见结论 (1)当f(x)的图象连续不断且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得． (2)当图象连续不断的函数f(x)在(a，b)内只有一个极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取到最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是无穷区间． 4.(1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值； (2)求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值． 解　(1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1. 因为f＝，f(1)＝，又f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)f′(x)＝＋cosx， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝. 因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π， 所以函数f(x)在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. 题型二：由函数的最值确定参数的值 5.已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． [解]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾． f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当a>0