第一章 函数的极值与导数-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：函数的极值与导数 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．极值点与极值 (1)极小值与极小值点 如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足： ①f(a)<f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值； ②f′(a)＝0； ③在x＝a附近的左侧，f′(x)<0，函数单调递减； 在x＝a附近的右侧，f′(x)>0，函数单调递增． (2)极大值与极大值点 如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值； ②f′(b)＝0； ③在x＝b附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在x＝b附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减． 2．求函数f(x)极值的方法与步骤 解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么，f(x0)是极大值． (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么，f(x0)是极小值． (3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点． 3.函数极值点的两种情况 (1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立． (2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况． 题型一：求已知函数的极值 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．(　　) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．(　　) (3)函数f(x)＝有极值．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)× 2．做一做 (1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________． (2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________． 答案　(1)2　(2)a<0　(3)1 3.求下列函数的极值． (1)f(x)＝＋3ln x； (2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)． [解]　(1)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值3  因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3. (2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  由此可得： 当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； 当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值． [条件探究]　若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？ [解]　由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值． 当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值． 当a≤－1时，f(x)无极值． 拓展提升 求函数极值的方法 一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0，即函数