第一章 函数的单调性与导数-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：函数的单调性与导数 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 知识点总结 1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导 (1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是单调递增的． (2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是单调递减的． 2．求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)计算f′(x)，令f′(x)＝0，求零点． (3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)． (4)判断f′(x)在每个区间的符号，确定函数f(x)的增区间和减区间． 3.函数的增减快慢与导数 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些． 如图，函数y＝f(x)的图象在(0，a)内“陡峭”，在(a，＋∞)内“平缓”． 说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行． 题型一：函数与导函数图象之间的关系 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的． (2)若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为________． (3)函数y＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是________． 答案　(1)上升　(2)a>0，且b2≤3ac (3)，(1，＋∞) 3.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) [解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确． [答案]　C 拓展提升 研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． 4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 答案　D 解析　应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象． 题型二：求函数的单调区间 5.求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x3＋3x2；(4)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)． [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为； 由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． (3)f(x)＝－x3＋3x2的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 当0<x<2时，f′(x)>0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的； 当x<0或x>2时，f′(x)<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的． 故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)． (4)因为f′(x)＝－ax2＋2x. ①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． ②当a<0时，令f′(x)>0，所以(－ax＋2)x>0，即x>0，得x>0或x