第一章 函数-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：函数的单调性与导数 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) [解析]　由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确． 2.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　) 答案　D 解析　应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象． 题型二：求函数的单调区间 3.求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝x2－ln x；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝－x3＋3x2； [解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为； 由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为. (2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f′(x)＝＝. 因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以ex>0，(x－2)2>0. 由f′(x)>0，解得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，解得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)． (3)f(x)＝－x3＋3x2的定义域为(－∞，＋∞)． f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)． 当0<x<2时，f′(x)>0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的； 当x<0或x>2时，f′(x)<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的． 故函数f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)． 4.求下列函数的单调区间． (1)y＝(1－x)ex；(2)y＝x3－2x2＋x； (3)y＝x＋sinx，x∈(0，π)； 解　(1)∵y＝(1－x)ex，∴y′＝－xex，∴y′>0时x<0，y′<0时x>0，所以递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)． (2)∵y＝x3－2x2＋x，∴y′＝3x2－4x＋1，x∈R， ①令3x2－4x＋1>0，得x>1或x<. ②令3x2－4x＋1<0，得<x<1. ∴函数y＝x3－2x2＋x的增区间为和(1，＋∞)，减区间为. (3)∵y＝x＋sinx，∴y′＝＋cosx， ①令y′>0，得cosx>－，又∵x∈(0，π)， ∴0<x<. ②令y′<0，得cosx<－， 又∵x∈(0，π)，∴<x<π. ∴函数y＝x＋sinx的增区间为，减区间为. 5.求下列函数的极值 (1)f(x)＝＋3ln x； [解]　(1)函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＝0得x＝1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值3  因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3. 6.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围． 解　(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝. 因为当x>或x<－时，f′(x)>0； 当－<x<时，f′(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；单调减区间为(－，)． 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；当x＝时，f(x)有极小值5－4. (2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如右图所示， 当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同交点，即方程f(x)＝a有三个不同的解． 7.(1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值； (2)求函数f(x)＝x＋sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值． 解　(1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1. 因为f＝，f(1)＝，又f(－2)＝－1，f(2)＝7，所以函数f(x)在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)f′(x)＝＋cosx， 令f′(x)＝0，解得x＝或x＝. 因为f(0)