第一章 含参数的单调性-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 单调性中参数的分类讨论 内容：导数 1、 把研究函数的单调性转化为解不等式： 若a为参数,要注意分进行讨论,还要注意这一条件. 1、已知函数，（为自然对数的底）.求函数的单调区间； 【解析】（1）函数的定义域为, 且 当时,,则函数在上单调递增； 当时,,, ∴在上单调递增,在上单调递减． 2、已知函数.讨论的单调性； 【解析】(1)的定义域, 当时,,则在上单调递减； 当时,令,可得； 令可得； 则在上单调递增,在上单调递减. 2、 把研究函数的单调性转化为解不等式： 要注意,若,则恒成立,若,则恒成立. 3、设定义在上的函数.求函数的单调区间； 【解析】（1） 当时,,在R上为增函数； 当时,由,得,即 ,由,得. ∴函数的单调增区间为,减区间为； 4、已知函数讨论函数的单调性 三、把研究函数的单调性转化为一元二次不等式在R上的解集 此类问题一般为三次函数或形如的函数 求含有参数的一元二次不等式的解集,若能因式分解,则根据二次项系数或根的大小进行讨论,若不能因式分解,则根据判别式的符号进行讨论. 5、已知函数,. （1）讨论函数的单调性 【解析】（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a） 6、 四、把研究函数的单调性转化为解不等式 首先根据a的符号进行讨论； 当a的符号确定后,再根据是否在定义域内讨论。 当都在定义域内时在根据的大小进行讨论。 7、已知函数. （1）若,讨论函数的单调性； 【解析】（1）依题意,,. 令,则或. 当时,,由得,由得； 当时,； 当且,即时,由得, 由得或； 当,即时,由得, 由得或. 综上所述,当时,函数在上单调递增,在上单调递减； 当时,函数在上单调递减； 当时,函数在和上单调递减,在上单调递增； 当时,函数在和上单调递减,在上单调递增. 2、已知函数．求的单调区间； 5、 把研究函数的单调性转化为解不等式, 然后根据判别式的符号进行讨论，求解此类问题既要考虑判别式的符号,又要注意二次项系数的符号,还要注意定义域. 8、已知函数. （1）讨论函数的单调性； 【解析】（1）, 令,其对称轴为,令,则. 当时,,所以在上单调递增； 当时,对称轴为, 若,即,恒成立,所以,所以在上单调递增； 若时,设的两根,, 当时,,所以,所以在上单调递增, 当时,,所以,所以在上单调递减, 当时,,所以,所以在上单调递增, 综上所述：当时, 在上单调递增； 若时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增； 9、已知函数． （1）讨论的单调性； 【解析】（1）的定义域为,, 对于函数, ①当时,即时,在恒成立． 在恒成立,在为增函数； ②当,即或时, 当时,由,得或,, 在为增函数,减函数, 为增函数, 当时,由在恒成立, 在为增函数． 综上,当时,在为增函数,减函数,为增函数； 当时,在为增函数． 10、讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性． 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＝. ①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a<1时，令f′(x)＝0，解得x＝ ，则当x∈(0, )时，f′(x)<0；当x∈( ，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，＋∞)上单调递增． 综合小练 1.设函数. （1）求的单调区间； （2）当时,试判断零点的个数； 【解析】（1）,. 当时,在恒成立, 在是单减函数. 当时,令,解之得. 从而,当变化时,,随的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 由上表中可知,在是单减函数,在是单增函数. 综上,当时,的单减区间为； 当时,的单减区间为,单增区间为. （2）当时,由（1）可知,在是单减函数,在是单增函数； 又,,. ,； 故在有两个零点. 2.已知函数,. （1）若 ,求的值； （2）讨论函数的单调性. 【解析】 (Ⅰ)由题意可得：,故,∴. (Ⅱ)∵函数,其中a>1, ∴f(x)的定义域为(0,+∞),, 令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1. ①若a−1=1,即a=2时,,故f(x)在(0,+∞)单调递增. ②若0<a−1<1,即1<a<2时, 由f′(x)<0得,a−1<x<1； 由f′(x)>0得,0<x<a−1,或x>1. 故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增. ③若a−1>1,即a>2时, 由f′(x)<0得,1<x<a−1;由f′(