第一章 定积分在几何中的应用-2022选修2-2数学总复习【格邦高中】人教A版

高中数学 选修2-2 导数及其应用 测试内容：定积分在几何中的应用 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．利用定积分求平面图形的面积 在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限． 2．常见图形的面积与定积分的关系 (1)如图①，当f(x)>0时，f(x)dx>0，所以S＝f(x)dx； (2)如图②，当f(x)<0时，f(x)dx<0，所以S＝＝－f(x)dx； (3)如图③，当a≤x≤c时，f(x)<0，f(x)dx<0；当c≤x≤b时，f(x)>0，f(x)dx>0，所以S＝＋f(x)dx＝－f(x)dx＋f(x)dx； (4)如图④，在公共积分区间[a，b]上， 当f1(x)>f2(x)时，曲边梯形的面积为 S＝[f1(x)－f2(x)]dx＝f1(x)dx－f2(x)dx. 3.求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 第一步，画出图形． 第二步，确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限． 第三步，确定被积函数，特别要注意分清被积函数上、下位置． 第四步，写出平面图形面积的定积分表达式． 第五步，运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积． 题型一：不可分割图形面积的求解 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．做一做 (1)由曲线y＝ex，x＝2，x＝4，y＝0所围成的图形的面积等于________． (2)曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积为________． (3)抛物线y＝x2－1与x轴围成图形的面积是________． 答案　(1)e4－e 2　(2)　(3) 3.求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积． [解]　由 得或 所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为(－3，5)和(2,0)． 设所求图形的面积为S，根据图形可得 拓展提升 不分割型图形面积的求解步骤： (1)准确求出曲线的交点横坐标； (2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域； (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分； (4)计算得所求面积． 4.计算由曲线y2＝x，y＝x3所围成图形的面积S. 解　作出曲线y2＝x，y＝x3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．解方程组得交点横坐标为x＝0及x＝1. 因此，所求图形的面积为 题型二：可分割图形面积的求解 5.求由曲线y＝，y＝2－x，y＝－x所围成图形的面积． [解]　解法一：画出草图，如图所示． 解方程组 拓展提升 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化区段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限． 6.求由抛物线y2＝8x(y>0)与直线x＋y－6＝0及y＝0所围成图形的面积． 题型三：综合问题 7.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为，试求： (1)切点A的坐标； (2)在切点A的切线方程． [解]　如右图，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，过点A的切线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x， 令y＝0，得x＝，即C. 拓展提升 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决． 8.已知抛物线y＝－＋2x(a>0)，过原点的直线l平分由抛物线与x轴所围成的封闭图形的面积，求l的方程． 对于简单图形的面积求解，可以直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标. (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负、可为零；而平面图形的面积总是非负的. 综合小测试 1．由y＝，x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积为(　　) A．ln 2 B．ln 2－1 C．1＋ln 2 D．2ln 2 答案　A 解析　画出曲线y＝(x>0)及直线x＝1，x＝2，y＝0，则所求面积S为如图所示阴影部分面积． 所以S＝dx＝ln x|＝ln 2－ln 1＝ln 2. 2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　作出曲线y＝x2，y＝x3的草图，