专题14 解三角形中最值范围问题的4种考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题14 解三角形中最值范围问题的4种考法 三角形中的最值范围问题处理方法 法一：利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。 法二：转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边 考向1 三角形面积最值范围问题 【例1】的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且， （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意， 由正弦定理得， 由于， 所以，则. （2）由余弦定理得， 即， 当且仅当时等号成立. 所以. 即面积的最大值为. 【变式1-1】在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，． （1）求角的大小和边长的值； （2）求面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）， 【解析】（1）， ，， ，， 为锐角，， ， 由正余弦定理可得， 整理可得，解得． （2）， ，， ， ， ，，， ，，， ， 【变式1-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若D为AC的中点，且，求ABC面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 所以，即， 由余弦定理，得 ∵，∴ ∵，∴； （2）解法一：∵， ∴， ∴，即， ∵，∴， ∴，当且仅当时取等号， 故ABC面积的最大值为； 解法二：在ABD中，由余弦定理，得， 即① 在CBD中，由余弦定理，得， 即 ∵， ∴② ①+②得③ 在ABC中，由余弦定理，得，即， 代入③中，整理得， ∵，∴ ∴，当且仅当时取等号 故ABC面积的最大值为4 解法三：如图，过C作AB的平行线交BD的延长线于点E， ∵，D为AC的中点， ∴，，，， 在BCE中，由余弦定理，得， 即，整理得， ∵，∴， ∴，当且仅当时取等号 故ABC面积的最大值为4. 【变式1-3】已知在△中，，的角平分线与相交于点． （1）若，求的长； （2）若，求△面积的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，， 利用余弦定理可得：，故， 在中，， 在中，， 两式相除可得， 又，所以. （2）根据题意得的面积等于的面积与的面积之和， 又，， 所以， 整理得： 又，当且仅当时取等号， 故，则， 所以， 故面积的最小值为． 考向2 三角形周长最值范围问题 【例2】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若，A为的最小角，求周长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由正弦定理可得， 又因为，得， 则． 因为，得， 因为，所以． （2）由（1）知， 又，所以． 由正弦定理，得， 则，， 则 ． 由，得，可得． 故周长的取值范围为． 【变式2-1】已知锐角中，内角所对的边分别为，且满足 （1）求角的大小； （2）若边长，求的周长取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由正弦定理可得：， ，即， ， 又，. （2）由正弦定理得：，， ， ，即， ，， ，则， ， 即周长的取值范围为. 【变式2-2】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且． （1）求角A （2）若△ABC为钝角三角形，求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵，， ∴， 由正弦定理可得，即， 所以， 又，所以； （2）因为，，所以由正弦定理有， 因为△ABC为钝角三角形，， 不妨设B为钝角，则，所以， 所以 ， 因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 所以△ABC周长的取值范围为. 【变式2-3】已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，且． （1）证明：； （2）若，且为锐角三角形，求周长的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）∵， ∴根据正弦定理得，， ， ， ， ， ， ∵A、B∈(0，)，∴A－B＝B，即A＝2B； （2）由（1）知A＝2B， 由， ∵△ABC是锐角三角形， ∴， ， ∴. 由正弦定理得， ， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴. 考向3 与边长有关的最值范围问题 【例3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小； （2）若△ABC是锐角三角形，且，求b的取值范围． 【答案】（1）；（2）﹒ 【解析】（1）∵， ∴根据正弦定理得，， ∵A∈(0，π)，∴， ∴，即， ∵C∈(0，π)，∴． （2）由（1）知， ∴根据余弦定理得，，即． ∵A是锐角