专题13 正余弦定定理在解三角形中的6种考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题13 正余弦定理在解三角形中的6种考法 一、余弦定理： 1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C 2、语言叙述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 【注意】余弦定理的特点 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． （2）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3、推论：cos A＝，cos B＝，cos C＝ 二、正弦定理 1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即. 【注意】正弦定理的特点 (1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系互化． 2、正弦定理推论：在中，内角，，所对的边分别为，，，外接圆半径为 ①， ②， ③，，， ④， ⑤，，（实现边和角的互相转化） 三、三角形面积公式 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心。 （1） （2） （3） （4） 四、三角形解的个数判断 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时： 考向1 给值求值解三角形 【例1】已知中，角，，所对的边分别为，，，且，，则等于（ ） A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 【答案】D 【解析】由正弦定理得：， 解得：，又，所以60°或120°， 因为，所以，经检验，均符合要求.故选：D 【变式1-1】在中，若，则B为( ) A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】， 由正弦定理可知， ， ，或．故选：B． 【变式1-2】在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由余弦定理得：，故.故选：A 【变式1-3】已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以得， 又因为，所以，进而有， 因为，所以，由正弦定理得， 又，消，可得，所以，故选：B. 考向2 边角统一解三角形 【例2】△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．若，则______． 【答案】 【解析】结合正弦定理可得，即， 故， 所以， 因为，所以，故答案为：. 【变式2-1】在，内角所对的边长分别为．若，且，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】边换角后约去，得，所以，但B非最大角，所以． 【变式2-2】设的内角，，所对边的长分别为，，，且 （1）求角的大小； （2）若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以 又 所以，，所以. （2）在中，由得， 满足，故 在中. 【变式2-3】设锐角△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B的大小； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 因为，所以， （2）由余弦定理得： ， 所以 考向3 三角形解的个数判断 【例3】在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则解的个数为（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】由正弦定理得， 由于所以为锐角，所以，故三角形有唯一解.故选：B 【变式3-1】在中，，，，则此三角形（ ） A．有两解 B．有一解 C．无解 D．解的个数不确定 【答案】A 【解析】因为，， 所以顶点到的距离， 因为，所以， 所以以为圆心，为半径画弧与有两个交点， 所以三角形有两解，故选：A 【变式3-2】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的解的情况为（ ） A．无解 B．有一解 C．有两解 D．有三解 【答案】C 【解析】因为，，，所以， 所以角C可能是锐角也可能是钝角，所以有两解，故选:C． 【变式3-3】不解三角形，下列三角形中有两解的是（ ） A． B． C．