专题06 探索性问题-2022年高考数学热点突破精练之圆锥曲线解答题

专题06 探索性问题 1.圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略 (1)先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立; (2)在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证 2.解决此类问题要还要做好两个方面： (1)转化:即把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化； (2)计算:直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往需要联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系进行化简，然后根据代数式的结构特征采用相应的方法求解，计算准确是关键. 熟练掌握椭圆的定义､几何图形､标准方程及简单几何性质(范围､对称性､顶点､离心率). 3.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路:先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在;若结论 不正确,则不存在. (2)策略: ①当条件和结论不唯一时要分类讨论; ②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件. 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么 差别. 4.解决存在性问题的一些技巧 (1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立. (2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以 通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去. (3)核心变量的求法: ①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解, ②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解. 1．（江西省八所重点中学2022届高三4月联考数学（理）试题）已知过点的动直线与抛物线交于点，抛物线的焦点为，当点横坐标为时，. (1)求抛物线的方程； (2)当直线变动时，轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【解析】(1)因为抛物线的焦点为，当点横坐标为时，， 由抛物线的定义，可得，解得，所以抛物线的方程为. (2)当直线变动时，轴上假设存在点使得点到直线的距离相等，由角平分线的判定定理可得为的角平分线，即有，设过点的动直线为， 联立方程组，整理得， 设，则， 则， 化为，即为，化简可得， 所以轴上存在点，使得点到直线的距离相等. 2．（2022·四川宜宾·二模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，，为的上顶点，且. (1)求的方程； (2)过坐标原点作两直线，分别交于，和，两点，直线，的斜率分别为，.是否存在常数，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由. 【解析】(1)，，，，， ，： (2)设：，：，（），（） 由消去得：，解之得，同理可求 又，点到的距离 所以 当即时，四边形的面积为定值. 故存在常数使得四边形的面积为定值 3．（2022·四川雅安·二模）已知椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆上第一象限内的点，直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点． ①求直线的方程（用，）表示； ②设为坐标原点，直线分别与轴，轴相交于点，，试探究的面积是否存在最小值．若存在，求出最小值及相应的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)，解得，故椭圆的方程为. (2)①由题意知，在椭圆上，故，直线斜率一定存在，设，联立椭圆方程得：，由有且仅有一个公共点，可得，得，，对于确定的点，直线只有一条，即关于的一元二次方程有两个相同的根，，，化简得. ②由知，令，，令，，，又，即，得，当且仅当时取等号，此时面积最小为，点. 4．（2022·江西·模拟预测（理））如图，椭圆的两顶点，，离心率，过y轴上的点的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线与直线交于点Q. (1)当且时，求直线l的方程； (2)当点P异于A，B两点时，设点P与点Q横坐标分别为，，是否存在常数使成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)椭圆的方程，由题可得； 由，结合，得，椭圆的标准方程：； 当直线l的斜率不存在时，，与题意不符， 故设直线l的方程为，代入椭圆方程 整理得，设，， ，； ， 解得.则直线l的方程为或. (2)当直线l的斜率不存在时，直线l与y轴重合， 由椭圆的对称性可知直线与直线平行，不符合题意； 由题意可设直线的方程：代入椭圆方程， 得；设，， ，；①， 直线的方程为②， 则直线的方程为③， 由②③得 由①代入，得， 解得，即；且知；（常数） 即点P与点Q横坐标之积为定值4.故存在常数 5．（2022·河南·三模（理））已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，