专题16 考查能力的含绝对值问题-备战2022高考数学命题意图揭秘（江苏、山东等新高考地区专用）

专题16 考查能力的绝对值问题 一、真题展示 1.（2021新高考全国卷Ⅰ）函数的最小值为　1　． 2. （2021新高考全国卷II）已知函数,函数的图象在点和点的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则取值范围是_______． 3.(2020全国卷Ⅱ)设函数,则f(x) (　　) A．是偶函数,且在单调递增 B．是奇函数,且在单调递减 C．是偶函数,且在单调递增 D．是奇函数,且在单调递减 4．(2020全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=sin2xsin2x． (1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性； (2)证明：； (3)设n∈N*,证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ 5．(2019全国卷Ⅱ)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是 (　　) A． B． C． D． 6．(2019全国卷Ⅰ)关于函数有下述四个结论： ①是偶函数②在区间单调递增 ③在有4个零点④的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 (　　) A．①②④B．②④C．①④D．①③ 二、命题意图揭秘 含绝对值的数学问题或者涉及到图象的对称与翻折变换,或者涉及到分类讨论,故难度较大,此类问题常与函数、三角函数、数列交汇,是高考中的难点. 三、重点知识与方法整合 1.绝对值函数的图象与性质 （1） 定义域：R； 值域：； （2）单调性：函数在上为减函数,在上为增函数．特别时,,图象如下图所示： 2.三点作图法画函数的图象的方法（该函数图形形状似“V”,故称V型图）. 步骤是：①先画出V型图顶点； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线,就得到函数的图象. 例1. 作出下列各函数的图象. （1）；（2）. 解：（1）顶点,两点（0,0）,（1,0）.其图象如图1所示. 图1 （2）顶点,两点（－1,0）,（0,0）.其图象如图2所示. 图2 注：当k>0时图象开口向上,当k<0时图象开口向下.函数图象关于直线对称. 3.翻转作图法 翻转作图法是画函数的图象的一种简捷方法. 步骤是：①先作出的图象；②若的图象不位于x轴下方,则函数的图象就是函数的图象；③若函数的图象有位于x轴下方的,则可把x轴下方的图象绕x轴翻转180°到x轴上方,就得到了函数的图象. 例2. 作出下列各函数的图象. （1）；（2）；（3）. 解：（1）先作出的图象,如图3,把图3中x轴下方的图象翻上去,得到图4.图4就是要画的函数图象. 图3 图4 （2）先作出的图象,如图5.把图5中x轴下方的图象翻上去,得到图6.图6就是要画的函数图象. 图5 图6 （3）先作出的图象,如图7.把图7中x轴下方的图象翻上去,得到图8.图8就是要画的函数图象. 4.是偶函数，的图象关于直线对称。 5.=的最值 探究：由绝对值三角不等式||+|||| 得||()()|=||=, 即最小值为,其中取得最小值的条件是. 拓展：下面我们来探究=||+||+||(>>)的最小值问题, ∵||+||,① ||0, ② ①+②得||+||+||. 由于①取等号的条件是.②取等号的条件是. ∴当时=||+||+||(>>)取得最小值. 6.=||||的最值 探究：由绝对值三角不等式的推论： 得||||||||=||, ∴ 结论：=||||的最大值为||,最小值为||. 7.=||+||（≠0）的最值 求函数=||+||的最小值. 解析：先写出的分段解析表达式：=. ⑴当-3时=-3-27, ⑵当-3<<时<-+4<7, ⑶当时3+2, ∴的值域为[7,+∞）∪（,7）∪[,+∞）=[,+∞）, 因此当=时取得最小值. 评析：上面的解法是把绝对值函数转化为分段函数再求最小值,通过去绝对值,把绝对值函数转化为分段函数是处理绝对值函数问题最基本的一种方法,也是最有效的一种方法. 下面我们用另外一种方法来求=||+||（≠0）的最小值 ⑴当时= ⑵当时= , ∴当时=||+||（≠0）的最小值是 当时=||+||（≠0）的最小值是. 其实不难发现：(-)与(-)中的较小值就是的最小值. 8.的最小正周期是。 四、押题冲关 1．（2021四川省绵阳高三考试）已知数列的通项公式,则（） A．99 B．100 C．101 D．102 2．（2022天津市河西区高三上学期期末）已知函数,当时,函数恰有六个零点,则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足,则正实数a的取值范围是（       ） A