专题19 数列解答题—绝不放弃你-备战2022高考数学命题意图揭秘（江苏、山东等新高考地区专用）

专题19 数列解答题—绝不放弃你 一、真题展示 1．（2021新高考Ⅰ卷）已知数列满足, （1）记,写出,,并求数列的通项公式； （2）求的前20项和． 2. （2021新高考Ⅱ卷）记是公差不为0的等差数列的前n项和,若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 3.（2021年全国卷I）记为数列的前项和,为数列的前项积,已知． （1）证明：数列是等差数列； （2）求的通项公式． 3.（2021年全国卷II）已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立． ①数列是等差数列；②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分． 5.（2020新高考山东卷T18）已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数,求数列的前项和． 二、命题意图揭秘 从近两年的新高考试题来看,每年必有一道数列解答题,难度中等或中等可下,主要以等差数列等比数列为背景考查数列的通项公式和数列求和问题,一般位于解答题前2题的位置上, 题目注重综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查,另外近两年高考常设置数列不良结构试题,请考生注意． 三、重点知识与方法整合 1.方程思想求等差数列基本量 等差数列中,已知5个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,便可求出其余两个．除已知a1,d,n求an,Sn可以直接用公式外,其他情况一般都要列方程或方程组求解,因此这种问题蕴含着方程思想．注意,我们把a1,d叫做等差数列的基本元素．将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常 2.求等差数列前n项和最值的方法 (1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项； (2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值； (3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值．要注意an＝0的情形． 3.等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后,可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1,根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出an＝pn＋q后,得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列． 4．等比数列中的基本运算 在等比数列五个基本量a1,q,n,an,Sn中,已知其中三个量,可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量,计算有时要整体代换,根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论． 5.等比数列的证明 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． 6.数列与函数 数列是一种特殊的函数,通过函数的思想观点去直观地认识数列的本质是高考能力立意的指导思想.数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系,数列的性质可以通过函数的性质反映出来,这为数列问题的解决提供了一个新的方向.在数列中,求an和Sn的最值问题都可以通过求相应函数的最值的方法解决,通常利用函数的单调性,要注意自变量不连续. 7．若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an, 则an＝ 8．数列中项的最值 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.在数列{an}中,若an最大,则若an最小,则 9.已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现an＝an－1＋m时,构造等差数列；(2)当出现an＝xan－1＋y时,构造等比数列；(3)当出现an＝an－1＋f(n)时,用累加法求解；(4)当出现＝f(n)时,用累乘法求解． 10.解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ①用作差比较法,根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． ②用作商比较法,根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断． ③结合相应函数的图象直观判断． 11.分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求{an}的前n项和． (2)通项公式为an＝的数列,其中数列{bn},{cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差,从而求得原数列的和,注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 12