8.2 平行线中的模型（M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型等）-2022年中考数学总复习全优学案（全国通用）

8.2平行线中的模型 （M型、笔尖型、鸡翅型、骨折型等） 【模型示例】 模型一：“M”型、“笔尖”型 例1 如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（     ） A．70° B．65° C．35° D．50° 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】解：作CF∥AB， ∵AB∥DE，∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°，∴∠BCE=65°，故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 例2 （1）已知：如图（a），直线．求证：； （2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？ 【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，，见解析 【解析】 【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD． 【详解】解：（1）证明：过点C 作CF∥AB， ∵AB∥ED， ∴AB∥ED∥CF， ∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC， ∴∠ABC+∠CDE=∠BCD； （2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD， 证明：如图： ∵AB∥ED， ∴∠ABC=∠BFD， 在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC=∠BCD+∠CDE， ∴∠ABC-∠CDE=∠BCD． 若点C在直线AB与DE之间，猜想, ∵AB∥ED∥CF， ∴ ∴. 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法． 【模型演练1】 如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　） A．70° B．65° C．35° D．5° 【答案】B 【解析】 【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE， ∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2， ∵∠1＝30°，∠2＝35°， ∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°， ∴∠BCE＝65°，故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 【模型演练2】 已知AB//CD．（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D； （2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F． ①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数． ②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2）55°；（3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可； （2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数； ②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图1，过点作， 则有， ， ， ， ； （2）①如图2，过点作， 有． ， ． ． ． 即， 平分，平分， ，， ． 答：的度数为； ②如图3，过点作， 有． ， ， ． ． ． 即， 平分，平分， ，， ． 答：的度数为． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质． 模型二：“鸡翅”型、“骨折”型 例1 如图，已知∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交BC于M，根据两直线平行，内错角相等证明∠BMD=∠ABC，再求解，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：延长交BC于M， ∵ ∴∠BMD=∠ABC=80°， ∴； 又∵∠CDE=∠CMD+∠C， ∴． 故答案是：40° 【点睛】本题考查了平行线的性质．三角形的外角的性质，邻补角的定义，掌握以上知识是解题的关键． 例2 已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PA