第12讲 复数相关题型汇总-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第12讲 复数相关题型汇总 【必备知识】 一.数系的扩充和复数的概念 1.复数:集合中的数,即形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,它满足.全体复数所形成的集合叫做复数集. 2.复数的表示:通常用字母表示,即,这一表现形式叫做复数的代数形式.其中,分别叫做复数的实部、虚部. 3.复数相等的充要条件: (1)且.) (2)且; (3)且.(.)(只有实数才能比较大小!) 4.复数的分类: 当时,是实数; 当时,是虚数(当时,是纯虚数). 5.复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, 轴叫做实轴,轴叫做虚轴;显然,实轴上的点都表示实数;除了 原点外,虚轴上的点都表示虚数. .规定:相等的向量表示同一个复数. 6.复数的模(或绝对值): 向量的模叫做,记作|z|或; 7.共轭复数 当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数.复数的共轭复数记作. 虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数的共轭复数是:. 它们在复平面所对应的点关于轴对称.显然,. 二.复数代数形式的四则运算 1.复数的四则运算法则： (1) ; 满足交换律、结合律. (2) ; 加法的逆运算. (3) ; 满足交换律、结合律、分配律. (4) . 分母实数化:分子、分母同乘分母的共轭复数. 2.加减法的几何意义: 向量加、减法的平行四边形法则.. (1)的几何意义是复平面上两点间的距离,即. (2)复平面上的两点间的距离公式:. (3)当,表示复数对应点的轨迹是以表示的点为圆心,半径为的圆;单位圆. (4)当,表示复数对应点的轨迹是以所表示的点为端点的线段的垂直平分线. 3.实系数一元二次方程的解 对于实系数一元二次方程,令,则 (1) 若; (2) (2)若,则; (3) 若,它在实数集内没有实数根;在复数集内有且仅有两个共轭复数根:(虚根成对). 【典例剖析】 类型一:复数的有关概念 1．设集合，，，则，，间的关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据复数的定义，复数包含虚数和实数，虚数包含纯虚数和非纯虚数的虚数． 因此只有B正确． 故选：B． 2．若复数（是虚数单位），则复数的虚部是（       ） A．1 B．-2 C． D． 【答案】B 【详解】 的虚部是. 故选：B 3．对于复数，下列结论中正确的是（       ） A．若，则为纯虚数 B．若，则， C．若，则为实数 D．若，则z不是复数 【答案】C 【详解】 对A，当时，为实数，故A错；对B，根据对应关系，，，故B错；对C，若，则为实数，C正确；对D，若，，也是复数，故D错.故选：C 4．以下复数中是纯虚数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 根据复数的概念及分类可得，复数不是纯虚数； 复数，不是纯虚数；其中是纯虚数. 故选：D. 类型二:复数的四则运算 1．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（       ） A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】C 【详解】 由题意，，则z的虚部为1. 故选：C. 2．已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵， ∴. 故选：A． 3．已知为虚数单位，则复数可化简为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A 4．已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 因为为纯虚数， 所以，． 故选：B． 5．已知复数满足，则（       ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 设，根据，求得参数，即可得出答案. 【详解】 解：设， 则，即，即， 所以，解得， 所以. 故选：B. 类型三:利用复数的概念求参数 1．已知复数是纯虚数（其中i是虚数单位），则实数a的值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 因为复数是纯虚数，所以且，解得 故选：A 2．若，其中为虚数单位，则实数m的值为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】 由题意得：，则，可得. 故选：B. 3．已知，若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部是（       ） A．1 B．－i C．i D．－1 【答案】D 【详解】 解：是纯虚数， ，解得， ． 则． 复数的共轭复数的虚部是． 故选：D． 4．设，则“”是“复数为纯虚数”的（       ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】 复数为纯虚数， 则，解得：， 所以“”是“复数为纯虚数”的充分而不必要条件. 故选：A. 类型四:复数相等的