专题05 证明问题-2022年高考数学热点突破精练之圆锥曲线解答题

专题05 证明问题 圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等.在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法. 1．（2022·陕西西安·二模（文））已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切. (1)求动圆的圆心轨迹的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（，在轴同侧），求证：是定值. 【解析】(1)由题意，得动圆的圆心到点的距离等于到直线的距离，所以的轨迹是以点为焦点的抛物线，其轨迹方程为； (2)设经过焦点的直线为， 联立，得； 设，，则，且，； 因为圆的圆心为（即抛物线的焦点），半径为， 由抛物线的定义，得，，则，， 所以， 即是定值，定值是1. 2．（2021·黑龙江·铁人中学高三期中（文））已知椭圆，焦距为，过右焦点F且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2. (1)求椭圆C的标准方程；. (2)设点A、B分别是椭圆C的左､右顶点，P、Q分别是椭圆C和圆O∶上的动点(P、Q位于y轴两侧)，且直线PQ与x轴平行，直线AP、BP分别与y轴交于不同的两点M、N，求证∶QM与QN所在的直线互相垂直. 【解析】(1)由题意，c＝， ∵过右焦点F且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2，可得， 又∵，∴解得，∴C：； (2)由(1)知，设，则，，且， 则直线AP的方程为，则， 直线BP的方程为，则， ∴，， ∴， ∴，即QM与QN所在的直线互相垂直. 3．（2022·北京房山·一模）已知椭圆C的离心率为，长轴的两个端点分别为，. (1)求椭圆C的方程； (2)过点的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线交于点Q，求证：. 【解析】(1)由长轴的两个端点分别为，，可得， 由离心率为，可得，所以，又，解得， 所以椭圆C的标准方程为； (2)设直线l的方程为，由得 设，，则， 所以，直线的方程为，所以 所以， 所以 ，即，所以、、三点共线，所以 4．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）设椭圆，已知椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的两点，在线段上取点，满足，求证：点总在一条动直线上且该动直线恒过定点． 【解析】(1)由题意可知，解得，则椭圆的方程： (2)设，，，直线的斜率显然存在设为，则的方程为． 因为四点共线，不妨设， ， ，， ， 由可得，化简可得 ．（*），联立直线和椭圆的方程消去： ，即， 由韦达定理，，．代入（*） 化简得，即 又代入上式：，化简：， 所以点总在一条动直线上，且该直线过定点 5．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值． 【解析】(1)设C的焦距为，则， 即，，； 由双曲线的定义，得，即， 所以，故C的方程为． (2)设，，，显然直线AB的斜率存在， 可设直线AB的方程为，代入， 得． 由过点的直线与C交于两点A，B，得， 由韦达定理，得，；       ① 由在直线上，得，即；       ② 由在直线AB上，得．             ③ 由，得， 即解得．同理，由，得， 结合①②③，得 ．故是定值． 6．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，是短轴的一个端点，且为等腰直角三角形，． (1)求椭圆的方程； (2)设过的直线与交于，两点，是线段的中点，过点的直线的方程为，直线与交于点，求证：为定值． 【解析】(1)设，则，即； 由为等腰直角三角形，得， 所以，所以椭圆的方程为． (2)由直线过焦点，当时，得直线的方程为， 代入，并结合整理，得， 设，则，设，则， 结合，得 ，所以直线的方程为， 由解得即， 所以，即， 当时，中点为，即，直线与交点坐标为， 由此时轴知，故为定值． 7．（2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形． 【解析】(1)由已知得,解得,∴椭圆的方程. (2)由（1）的结论可知，椭圆的左焦点, 设,则,. ，. ∵直线与椭圆交于、两点，∴ 由于直线与直线不平行， ∴四边形为梯形的充分必要条件是，即， 即,即, ∵,∴上式又等价于， 即（*）.由,得, ∴, ， ∴（*）成立，∴四边形为梯形. 8．（2022·湖南娄底·高三期末）已知椭圆C的标准方程为，右焦点为F，离心率为，椭圆C上一点为．直线AB的方程为，交椭圆C