专题08 最值问题（1）-冲刺2022年中考数学选填题压轴题专项突破（全国通用）

专题08 最值问题（1） 1．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为 　38　． 【解答】解：连接，过作于，以为圆心，为半径作圆，交于，如图： 四边形是矩形， ， ，点是的中点， ， 在以为圆心，2为半径的弧上，当运动到时，最小，此时四边形面积的最小值，最小值即为四边形的面积， ，， ，， ， ， ， ，即四边形面积的最小值是38． 故答案为：38． 2．如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为　　． 【解答】解：连接， ，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为：． 3．如图，是的一条弦，点是上一动点，且，点、分别是、的中点，直线与交于、两点．若的半径为7，则的最大值为　10.5　． 【解答】解：当为的直径时，有最大值． 当为直径时，点与点重合， 也是直径，． 是直径上的圆周角， ， ， ． 点、分别为、的中点， ， ． 故答案为：10.5． 4．如图，在边长为2的菱形中，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是　　． 【解答】解：如图所示：是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点作于点， 在边长为2的菱形中，，为中点， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，为等边三角形，．若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为　　． 【解答】解：是等边三角形， ，， ， ， ， 点的运动轨迹是， 当、、共线时，长度最小，设交于，如图所示： 此时，， 则，，， ，， ． 故答案为：． 6．如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则切线的最小值为　　． 【解答】解：连接、． 是的切线， ； 根据勾股定理知， 当时，线段最短， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 7．如图，在直角坐标系中，的圆心的坐标为，半径为1，点为直线上的动点，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值是　　． 【解答】解：如图，作直线，垂足为，作的切线，切点为，此时切线长最小， 的坐标为， 设直线与轴，轴分别交于，， ，， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． ，此时最小，所以此时切线长也最小，最小值为． 8．如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，是直径上一动点，则的最小值为 　　． 【解答】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则点就是所求作的点． 此时最小，且等于的长． 连接，， ， ， ， ， ， ， 则，又， 则． 9．如图，为上一点，，，是半径为的上两点，且，若的最小值为，则半径的最小值是 　　． 【解答】解：如图，过点作，使， ， ， 又， △， ， ， 当、、三点共线时，的最小值， 作， 当时，最小， 在△中，， 故答案为：． 10．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是　　． 【解答】解：在正方形中，，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接、， 则， 在中，， 根据三角形的三边关系，， 当、、三点共线时，的长度最小， 最小值． （解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小） 故答案为：． 11．如图，、是半径为5的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为　　． 【解答】解：连接，，作垂直于． 根据垂径定理，得到，， ， ， ， ， 在直角中根据勾股定理得到， 则的最小值为． 故答案为： 12．如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 　　． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于点， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 故答案为： 13．如图，直线与半径为4的相切于点，是上的一个动点（不与点重合），过点作，垂足为，连接．设，，则的最大值是　2　． 【解答】解：如图，作直径，连接， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ，，半径为4， ， ， ， 当时，有最大值是2， 故答案为：2． 14．如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造，连接，则的最小值为　　． 【解答】解：作于点， 在中，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 当取得最小值时，即可取得最小值， 当时，取得最小值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 15．在中，，，，点是以点为圆心4为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为　7　． 【解答】解：作的中点，连接、． 在直角中，， 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． ，即． 最大值为7， 故答案为：7． 16．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交