第06讲 恒等变换与三角函数性质-【核心考点突破】2021-2022学年高一数学下学期考点分类培优讲义(苏教版2019必修第二册)

第06讲 恒等变换与三角函数性质 【必备知识】 1.公式总结 1.两角和与差的公式 2.降幂公式 将倍角公式变形可得到半角公式: 由, 3.辅助角公式 , 其中. 4.半角正切公式的有理化 . 5.万能公式 2.三角恒等变换与三角函数性质综合问题的解法 1.当求与三角函数有关的函数的周期、单调区间，对称轴、值域等问题时,一般先将函数借助辅助角公式转化为 的形式,然后求解. 2.应用三角函数解决实际问题的关键是合理引人辅助角,确定各量之间的关系,将实际问题转化为三角函数 问题,再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中,要注意三点:(1)充分借助平面几何性质,寻找数量关系.(2)注意实际问题中变量的取值范围.(3)重视三角函数有界性的影响. 【典例剖析】 类型一:借助辅助角公式解决函数性质问题 1．已知，则下列结论中正确的是（       ） A．的最大值为 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的最小正周期为 【答案】B 【详解】 ； 对于A，，A错误； 对于B，当时，， 由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，B正确； 对于C，当时，，则关于成轴对称，C错误； 对于D，最小正周期，D错误. 故选：B. 2．已知函数，，则的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意知， ， 由，得， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 令，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 有， 所以， 故的值域为. 故选：A 3．若函数的最小值为1，则实数（       ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】 ，其中， 当时，即时，函数有最小值， 最小值为，由题意可知：， 故选：D 4．已知函数，则下列说法错误的是（       ） A．是函数的一个周期 B．是函数的一个零点 C．函数在区间上的最小值为-1 D．函数的图象关于原点对称 【答案】D 【详解】 解：因为，所以函数的最小正周期为，故A正确；当时，，即是函数的一个零点，故B正确；当时，，此时函数的最小值是，故C正确；为偶函数，函数图象关于轴对称，不关于原点对称，故D错误.故选：D 5．已知函数，下列结论中错误的是（       ） A．的图像关于中心对称 B．在上单调递减 C．的图像关于对称 D．的最大值为1 【答案】B 解： 对于A选项．当 时，，则的图像关于中心对称，故A正确； 对于B选项．由 得 当时，函数的递减区间是 ，故B错误， 对于C选项．当时， ，则的图像关于对称，故C正确， 对于D选项．当时，函数取得最大值为，故D正确， 故选：B． 6．函数 的最小正周期为________. 【答案】 【详解】 解：因为，所以，所以，所以函数的最小正周期； 故答案为： 7．函数y＝cos2x－sin x的值域是__________________ 【答案】 【详解】 ， ，当 时取最大值 ， 当 时，取最小值 ； 故答案为： . 8．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：因为 所以 ，即，所以函数的最小正周期； (2)解：令，，解得，．所以函数的单调递增区间为； 9．已知函数． (1)求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f（x）在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为，k∈Z； (2)最大值为，最小值为． 【解析】 (1) ， ∴函数f（x）的最小正周期为， 令，k∈Z，则，k∈Z， ∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z． (2)∵，∴， 则，∴， ∴函数f（x）的最大值为，最小值为． 10．已知函数. (1)若，且，求； (2)记函数在上的最大值为b，且在上单调递增，求实数a的最小值. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)解：， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴， ∴， ∴ ； (2)解：∵，∴， 当时，，∴， 由得，，， ∴的单调递增区间是，， ∵函数在上单调递增， ∴时，增区间是，时，增区间是，则， ∴实数a的最小值是. 类型二:实际问题中的三角函数 1．已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y. (1)写出y与x的函数关系式，并化简； (2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值. 【答案】(1)， (2)当时， 【解析】 (1)解：在直角中，，， 在直角中，， 又， 所以， 所以 ， 即，. (2)解：因为，所以，所以当，即时，. 2．如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，. (1)写出关于x的函数解析式； (2)求函数的最小