第20讲 勾股定理(二)-2021-2022学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

生>v瓜，当且仅当a=6时取等号. 3.B提示：.(2m2+21+1)2-(22+2m)2=(2n2+2m+1+ 2m+2n)(2n2+2n+1-2n2-2n)=4n2+4n+1=(21+1)2, (3).'a,6,c062ab+ac+bc=4, .三边构成直角三角形. ,.b(a+b)+c(a+b)=4,即(a十b)(b+c)=4, 4.B提示：“三角形数”1,3,6,10，…，可写成1,1十2,1+2十3， 而a+2b+c=(a+b)+(b+c)≥2(a+b)(b+c)=2√4=4， 1十2十3十4，…：“正方形数”1,4,9,16，…，可写成12,22,3， ∴.a十2b十c的最小值为4，当且仅当a十b=b+c,即a=c时 4,….故第n个三角形数为1十2十…十n=n少；第n个 成立. 2 第20讲勾股定理（二） 正方形数为n2.故第n一1个三角形数与第n个三角形数之和 例1如图D20-1,连接AC 为第n个正方形数，形式为D+nD=心.当n=9 2 2 时，36+45=81. 5.(1)2-1,2n,n2+1. (2)以a,b,c为边的三角形是直角三角形.理由如下： ,a2+=(n2-1)2+(21)2=n-27+1+4n2=(72+1)2=2, 图D20-1 .以a,b,c为边的三角形是直角三角形. ,∠B=90°，∴.AC=√AB+BC=V32+4=5. 6.设这7个连续正整数正中间的数为，依题意有(m一3)2+ 在△ACD中，52+122=169=132，.AC2+CD=AD. (n-2)2+(n-1)2+n2=(n+1)2+(n十2)2+(n+3)2. ∴.∠ACD=90 整理得n2一24n=0,即n(n-24)=0..n≠0，..n=24. Sa8am=Sm+Sm=之X3X4+号X5X12=36, 故满足条件的整式为212十222十232十242=252+262十272. 7..a2+b2+2+338=10a+24b+26c. 例2152+1122=1132. ∴.a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0, 例3B提示：对于①，，a2十=c2,即两边之和等于第三 即(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0. 边，不能构成三角形，故①错； (a-5)2≥0，(b-12)2≥0，(c-13)2≥0， 对于②，，(Wa)2+(W6)2=a十b>c=(WC2,故②错： ∴.(a-5)2=0,(b-12)2=0,(c-13)2=0. 对于③，由面积公式知ab=ch, ∴.a=5,b=12,c=13. 1c2 .a26=c2h2, 5+122=132,a2+6=c2, 心京=26' .该三角形为直角三角形. 8.(1)锐角，钝角.(2)>，<. (3)c为最长边，.4c<6. 例4：△ABC是等边三角形，∴BA=BC.可将△BPC绕点 B逆时针旋转60°得到△BEA,连接EP,如图D20-2所示， 当a2+b>c2,c2<20,即4≤c<25时，△ABC为锐角三角 形：当a2+2=c2,c2=20,即c=25时，△ABC为直角三角 形：当a2+b<2,c2>20,即2√5<c<6时，△ABC为钝角三 角形. 9.方法一如图D20-3①，过点B作BE⊥BP,使BE=BP,连接 ⊙ EC.PE. 图D20-2 先证△ABP≌△CBE,得CE=AP=1. ∴.BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°， 在△PEC中， ∴.△BPE为等边三角形， PE=2√2，EC=1,P℃=3，(2√2)2+1=3， ∴.PE=PB=4,∠BPE=60° ∴.PE2十EC2=PC. 在△AEP中，AE=5,AP=3,PE=4,,.PE2十PA2=AE2, .∠PEC=90°. ∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°， ∴.∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135° ∴.∠APB=∠APE+∠BPE=90°+60°=150° [变式题组] ∴.∠APB=∠BEC=135 1.D提示：，1十2=3，不能构成三角形，A错误；1+1= (√2)2，∴三角形为等腰直角三角形，故B错误：底边上的高 是√1-（受）厂-之可知这个三角形是顶角为120，底角 为30的等腰三角形，故C错误；，12十(W3)2=2,可知这个 三角形是三个角分别为30°，60°，90°的直角三角形，符合“智慧 ② 三角形”的定义，故D正确， 图D20-3 2.B提示：.15十20=25，.此三角形为直角三角形 方法二如图D20-3②，过点B作BF⊥BP于点B,使BF= 故最长边上的高为h=15X20=12. BP,连接AF,PF. 25 先证△CBP≌△ABF, 39 再证△AFP中∠FPA=90°. ../ACD=90°