第5讲 角平分线-2021-2022学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

(AG=CF, 在△AGD和△CFD中，∠GAD=∠C=45°， AD-CD. .△AGD≌△CFD.∴./ADG=/CDF 即∠ADB=∠CDF 4 图D5-1 若任意作两个角，如图D5-1③所示.因为我们是在举反例，所以 显然刻意使得AD与BC不平行，然后作∠DAB的平分线，使其 与∠ABC的平分线交于点E.此时满足条件②③，若要继续满足 第15题图 条件④，则需找到一条过点E的直线，且与AD边交于点D,与 16.(1)过点C作CD⊥y轴于点D. BC边交于点C,还要满足E为CD的中点（如图D5-1④）.显然 易证△AOB≌△BDC. 这条直线不太好作.我们继续让条件特殊化，但同时仍然满足条 ∴.OB=CD=5,.点B(0,5). 件②③，例如可设∠DAB=∠ABC(如图D5-1⑤)，此时∠1= 2鼎立 ∠2=∠3=∠4，我们只需过点E作AB的平行线.图中点D,C 即为所求.易证ED=EC,即满足条件④，但图中显然不满足条件 (3)PB=2,过点E作EG⊥y轴于点G. ①，由此特例可说明②③④→①是错误的命题. 易证△ABO≌△BEG,∴.BG=AO,再证△EGP≌△FBP [变式题组] 则GP=BP.PB=BC=2A0=2. L.l5cm2,提示：过点D作DF⊥BC于点F ·BD平分∠ABC,.DE=DF=2cm 第5讲角平分线 'S△ABc=SMRD十SADBC, 例1，AD平分∠BAC,CD⊥AC,DE⊥AB, 故S=号×9X2+×6X2=15m。 ∴.CD=DE.BE=CF, ∴△CDF≌△EDB(SAS..BD=DF 2.C提示：.∠A=54°，∠B=48°， 例2过点P分别作PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,垂足分别为 ∴.∠ACB=180°-54°-48°=78°. 点D,E,F 又CD平分∠ACB, ∠1=∠2，∴PD=PF.同理PD=PE,∴PE=PF :∠BCD=∠DCE=号∠ACB=号×78=39 ∴.AP平分∠BAC. ,DE∥BC,.∠CDE=∠BCD=39. 例3①③④. 3.,AO平分∠DAE,OD⊥AB,OE⊥AC,∴.OD=OE 例49.提示：共10种情形，其后打“√”的是正确的命题，其 ∠DOB=∠EOC,∴.△BDO≌△CEO(ASA). 后打“×”的是错误的命题 ∴.BO=CO. (1)①②③→④⑤/ (6)①④⑤→②③/ 4.过点D作DG⊥BC于点G,DH⊥AB于点H. (2)①②④→③⑤、/ (7)②③④→①⑤× ,BF平分∠ABE,∴.DG=DH. (3)①②⑤→③④、/ (8)②③⑤→①④/ .DA=DC, (4)①③④→②⑤、/ (9)②④⑤→①③/ ∴.Rt△DHA≌Rt△DGC.∴.∠DAH=∠DCG (5)①③⑤→②④/ (10)③④⑤→①②、/ 设CD与AB相交于点M. 以上10个命题中有9个是正确的命题，1个是错误的命题，正确 :∠AMC=∠ABC+∠DCG=∠ADC+∠DAH, 的命题的证明关键是作辅助线，下面选取两个命题作辅助线，证 .∠ABC=∠ADC. 明过程请读者自己思考. 5.C提示：证△AFC≌△ABE,可得CF=BE,故①对.过点A 对于第(3)个命题（如图D5-1①），延长AE交BC的延长线于点 作AG⊥CF于点G,AH⊥BE于点H. F,证明略. 对于第(9)个命题（如图D5-1②），在AB上截取AF=AD,连接 :Se-SE,CF·AG-BE,AH EF,证明略. .AG=AH,故OA平分∠EOF,故③对. 对于第(7)个命题，②③④→①是错误的命题.以下给出一位解 :△AFC≌△ABE,∴∠AFC=∠ABE. 题者的探究，并给出他的思维过程。 .'∠AMF=∠BMO,∴.∠FAM=∠BOM=60°， 从而∠BOC=180°-∠BOM=120°，故④对. 对于②，假设结论成立，即∠AMO=∠ANO,则∠AFM+ ∠FAM=∠AEN+∠EAN.:∠EAN=∠FAM=6O°， ∴.∠AFM=∠AEN.,'∠ABN=∠AFM,.∴.∠ABN ∠AEN,∴.AB=AE,这与题设矛盾.当然也可以先证△AMO ≌△ANO,再证△AMF≌△ANE,从而推出AF=AE,这与题设 矛盾.故②错误， 6.(1)过点E作EF⊥AC于点F,EG⊥BD于点G,EH⊥CB于 AD-AB=AE+BF-(AF-BF) 点H,如图D5-2所示. =AE十BF-AF+BF=2BF=2ED,故④正确. D 图D5-2 ,∠ABC=100°，∠CBD=20°， F .∠DBA=∠ABH=80° 第6题图 ∴.BA是△CBD外角的平分线. 7.(1)如图①，在AB上截取BG=BC,连接PG, (2):CE平分∠ACB, 易证△PBC≌△PBG(SAS),∴.∠BCP=∠BGP=4