第9讲 等腰直角三角形和直角三角形-2021-2022学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

9.(1)60°. 又.∠ADE+∠ADC+∠CDF=180°，∠ACD+∠ADC+ (2)①易证△ACM≌△BAN,∴·∠N=∠AMC, ∠CAD=180°，∠ADE=∠ACB=60°， ∴.∠APC=∠N+∠PCN=∠AMC+∠BCM=60°， ∴∠CDF-∠CAD. ∴.∠CPN=120°. 又∠CDF=∠CBN, ②，'∠CPN=120°，△CPN为等腰三角形 .∠CAD=∠CBN. ∴.∠N=∠PCN=∠BMC=∠BCM=30° 又CA=CB,∠BCF=∠ACB=60°， ,MGLBC,∠MBG=60°，∴.BM=BC=2BG=CN, ∴.△ACD≌△BCN..CD=CN=CF+BE. ∴.GN=5BG,∴.n=5. 14.方法一如图①，过点B作BF∥DE交AC于点F,△ADE 10.A提示：因为点P从B点开始延B向C运动，则点Q沿如 为等边三角形，.△ABF为等边三角形， 图所示的CQ方向运动.当点P到C点时，点Q到了如图所 ∴.∠DEC=∠CFB=120°，AF=BF. 示的位置. .DB+DE=EC,..AF=BF=AB=EC, 过点Q作QD⊥AC于点D ∴.DE-AE=CF,∴.△EDC≌△FCB,∠FCB=∠EDC ,△ACQ为等边三角形， :∠ADE=60,∠BDC=2∠EDC ∴.点Q运动的路径即为CQ的长度，而CQ=2DC=AC=6. ∴.∠FCB=∠ELDC=40°，.∠ECD=20°，∴.∠DCB=20°. A D (P) (P) C(Q) F 第10题图 第11题图 第14题图 11.20°.提示：如图，延长AB到点F,使BF=AD,连接CF.易 方法二如图②，延长AB至点F,使AF=AC,连接CF,则 知△ADE为等边三角形，则∠EDB=120. △ADE,△AFC均为等边三角形， CE=ED+DB=AD+DB=DB+BF=DF. .AF=AC=CF,∠A=∠F, 所以△ACF也为等边三角形. .DB+DE=EC...DF=EC=AB...AD=FB, 由∠EDB=120°，∠CDB=2∠CDE,知∠CDB=80° ∴.△ADC≌△FBC,∴.∠ACD=∠FCB, 在等边△ACF中，由AD=BF,知CD=CB, .'∠ADE=60°，∠BDC=2∠EDC,∴.∠EDC=40°，. 因此∠DCB=180°-2∠CDB=20°. .∠FCB=∠ACD=20°，.∠DCB=20° 12.2≤AD<3.提示：由于DA=DE,要使AD最长，须使DE 第9讲等腰直角三角形和直角三角形 最长，当DC=AD时，由于∠A=60°， 所以△ACD为等边三角形，又D为AB的中点，即AD=3. 例1(1)∠BAC=90°，AB=AC,..∠B=∠ACB=45 FCIBC,∴.∠BCF=90, 但点E不与点B,C重合，所以AD<3. .∠ACF=90°-45°=45°，.∠B=∠ACF 当DELRCE时，DE最短.由∠B=30知DE=之BD, ∠BAC=90°，FA⊥AE, AD+BD=AD+2AD=6,AD=2 .∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°， 故AD的取值范围为2≤AD<3. ∴.∠BAE=∠CAF 13.(1),D是等边三角形ABC的边BC的中点，∠ADE=60°， ∠BAE=∠CAF, .∠ADB=90°，∠BDE=∠BAD=30°，∠BED=90°， 在△ABE和△ACF中，AB=AC, 在Rt△BED和Rt△ABD中， ∠B=∠ACF, .BD=2BE,AB=2BD=4BE. .△ABE≌△ACF(ASA),.∴.BE=CF ,∴.AE=AB-BE=3BE. (2)①如图D9-1,过点E作 (2)过点A作AF⊥ED于点F,AH⊥DM的延长线于点H, EH⊥AB于点H,则△BEH :∠AFD=∠AHD=90°，而∠ADF=∠ADH=60°， 是等腰直角三角形， ∴.AF=AH. .HE=BH,∠BEH=45° 又∠BAC=60°，在四边形AFDH中，∠FAH=60°， AE平分∠BAD,AD⊥BC, ∴.∠EAF=∠MAH.易证△AFE≌△AHM. .'DE=HE, 图D9-1 ..AE=AM. ∴.DE=BH=HE. 又AB=AC,∴.AB-AE=AC-AM,,∴.BE=CM ∵BM=2DE,∴.HE=HM, (3)延长CF至点N,使FN=BE,连接BN,EN, △HEM是等腰直角三角形， ,CF∥BE,'.∠BEN=∠ENF,∠BCF=∠ABC=6O .∠MEH=45°，.∠BEM=45°+45°=90°，.ME⊥BC. 又：EN=NE,.△BEN≌△FNE. ∴.∠BNE=∠FEN,.EF∥BN. ②由题意得∠CAE=45°+7×45°=67.5， ,∴.∠CDF=∠CBN.