第8讲 等边三角形-2021-2022学年八年级全册初二数学【培优竞赛超级课堂】

∠DMN=180°240=70. 尝试写出过程. 2 例4BM+CN=MN.证明如下： 故∠NMB=∠DMN-∠DMB=70°-40°=30° 如图D8-3①，延长AC至点M1,使CM1=BM,连接DM1, D D ① ② 图D8-3 B 则∠ABD=∠ACD=90°. 第12题图 第13题图 ,'BD=CD,'.Rt△BDM≌Rt△CDM. 13.20,80,200,320.提示：如图，以点A为圆心，以AB长为半 .MD=MD.∠MDB=∠MDC, 径作圆A,分别以B,C为圆心，以BC长为半径作圆B和圆 ∴.∠MDM=(120°-∠MDB)+∠MDC=120° C,BC的中垂线交圆A于D,D2两点，圆B与圆A交于点 又.'∠MDN=60°，.'.∠MDN=∠MDN=60° D3,圆C与圆A交于点D.D1,D2,D3,D四点即为所求 .△MDN≌△MDN. ∠BAD2=20°，∠BAD1=80°，∠BAD1=200°，∠BAD3= .'.MN=NM=NC+CM=NC+MB 320. 附加题：CN-BM=MN.证明如下： 第8讲等边三角形 如图D8-3②，在CN上截取CM1,使CM,=BM,连接DM1 例1(1)，△ABC为正三角形， ,∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°， ∴.AB=AC,∠BAC=∠C=60°. 4 .∠DBM=∠DCM=90°. 'AE=CD,.△ABE≌△CAD 'BD=CD,.'.Rt△BDM≌Rt△CDM. (2).△ABE≌△CAD,∴.∠1=∠2. ∴.∠MDB=∠MDC,DM=DM. ,∠2+∠3=60°， .'∠BDM+∠BDN=60°，.∠CDM+∠BDN=60. ∴.∠1+∠3=60°. .∠VDM1=∠BDC-(∠MDC+∠BDN)=120°-60°=60°. ∴.∠BPQ=∠1+∠3=60°. .∠MDN=∠MDN. (3)BQ⊥AD,∴.∠PQB=90°， 图D8-1 .ND=ND,∴.△MDN≌△MDN. ∠PBQ=30°，.BP-2PQ=2X3=6. ..MN-MN-NC-CM=NC-MB .PE=1,∴.BE=BP+PE=7. [变式题组] .△ABE≌△CAD,.AD=BE=7. 1.C提示：①有两个角为60°，则另一个角也为60°，故①对： 例2连接AM.:MN垂直平分AB,.BM=AM, ②三个外角和为360°，而三个外角都相等，则每个外角为 则∠B=∠MAB.'∠BAC=120°，AB=AC, 120°，每个内角为60°，此三角形为等边三角形，故②对：③反例 ∠C=∠B=30°，.∠MAB=30°， 有等腰直角三角形斜边上的高也是斜边上的中线，故③错；④ ∴.∠MAC=120°-30°=90°. 是等边三角形的判定定理，故④对. 在Rt△MAC中，，∠C=30°， 2.(1),△ACD和△BCE为等边三角形， ..CM=2MA,..CM=2BM. ∴.AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=60° 例3(1)：△ABC为等边三角形， 又∠ACE=∠ACD+∠DCE,∠DCB=∠DCE+∠ECB, '.AC=BC,∠ABC=∠ACB=60°. 而∠ACD=∠ECB,∴.∠ACE=∠DCB. .AC∥PQ, ∴.△ACE≌△DCB(SAS). .∠CPQ=∠ACB=60° (2)由△ACE≌△DCB,得到∠MAC=∠NDC:易证△ACM≌ 2 :AB∥CQ,∠ABC=∠PCQ=60. △DCN,得到CM=CN. △CPQ为等边三角形，CP=CQ, D Q :∠MCN=60°，.△MCN为等边三角形， ∴.△ACP≌△BCQ,.AP=BQ 图D8-2 ∴.∠CMN=6o°=∠MCA,∴.MN∥AB. (2)AD=BD十CD.理由如下： (3)先证∠EFB=∠MAC+∠FBC=∠MAC+∠AEC= 在AD上截取AE=BD,连接CE(如图D8-2所示) ∠ECB=60°，得到∠AFB=120°，再证CF平分∠AFB.过点C △ACP≌△BCQ,∴∠1=∠2. 作CG⊥AE于点G,CH⊥BD于点H, 又：AC=BC,.△AEC≌△BDC :△ACE≌△DCB,.DB=AE,S△E=S△DB, ∴.CE=CD,∠3=∠4. DB.CH-AE.CG. :∠3+∠5=60°，∴∠4+∠5=60°， ∴.CG=CH,从而CF平分∠AFB .△CDE为等边三角形，.ED=CD .AD-AE+ED,..AD=AE+CD=BD+CD. ∠AFC=3∠AFB=X120°=602 当然，也可以延长BD到点F,使BF=AD.连接CF,同学们可以3.(I),△ABC为等边三角形，AB=BC,∠ABD-∠BCE=60°， 15 又BD=CE,∴.△ABD≌△BCE(SAS). P