专题12 平面向量中“极化恒等式”的3种考法-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题12 平面向量中“极化恒等式”的3种考法 一、极化恒等式及其推论： 1、极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2] （1）公式推导： （2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 3、三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 二、极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 三、极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。 考向1 求平面向量数量积的值 【例1】如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________. 【答案】9 【解析】由得， 则. 【变式1-1】如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，，，则的值是 ． 【答案】 【解析】设， 由极化恒等式得， 解之得可得，，因此，， 因此． 【变式1-2】矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 . 【答案】 【答案】设矩形的对角线交点为O， 由极化恒等式可得：， 解得， ∴. 【变式1-3】已知单位向量，，满足，则的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】∵，∴， 如图所示，设中点为， 则，且， ∴三点共线，，，， ∴为等腰三角形， ∴， ∴.故选：A. 考向2 求平面向量数量积最值或范围 【例2】已知的面积为，动点在线段上滑动，且，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】记线段的中点为，点到直线的距离为， 则有，解得， 由极化恒等式可得：. 故答案为：. 【变式2-1】已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（ ） A．16 B．12 C．5 D．4 【答案】C 【解析】如图，延长到D，使得． 因为，所以点P在直线上． 取线段的中点O，连接， 则． 显然当时，取得最小值， 因为，则，所以， 所以的最小值为． 【变式2-2】已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ） A．[0，1] B． C．[1，2] D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 考虑是线段上的任意一点， ，， 圆的半径长为， 由于是线段上的任意一点，则， 所以，. 【变式2-3】半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示， 设与交于点， 由， 得四边形是菱形，且， 则，， 由图知，，而， 所以， 同理，，而， 所以， 所以， 因为点是圆内一点，则， 所以， 即的取值范围为， 考向3 已知向量数量积求其他几何量 【例3】在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝ ． 【答案】 【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得 ∵的最小值为 ∴ 由平几知识知：当CP⊥AB时，CP最小.H 如图，作CH⊥AB，H为垂足，则CH=1 又AC＝2BC＝4，所以∠B＝30o，sinA= 所以cos∠ACB＝cos（150o －A）=. 【变式3-1】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，sin∠PAC的值为____． 【答案】 【解析】取边的中点为，连接线段，设正三角形的边长为 由极化