专题11 平面向量与三角形“四心”问题-【专题重点突破】2021-2022学年高一数学下学期核心考点精讲精练(人教B版2019必修第三、四册)

专题11 平面向量与三角形“四心”问题 在中： 重心——中线的交点：重心将中线长度分成； 垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； 内心——角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； 外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等. 1、若、、，重心坐标为. 2、若为重心，则，，，. 证法1：设，、、， ， ，为重心. 证法2：如图，则， ∴、、三点共线，且分为，∴是的重心. 3、为垂心； 证明：如图是的垂心， 垂直、垂直，、是垂足， ， 同理，为垂心. 4、向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)； 5、为内心； 证明：∵、分别为、方向上的单位向量， ∴、平分， ∴， 令，∴， 化简得， ∴. 6、为外心； 考向1 三角形的“重心”判断 【例1】已知是平面上的一定点，，，是平面上不共线的三个动点，若动点满足 ，，则点的轨迹一定通过的 （填“内心”“外心”“重心”或“垂心” ． 【答案】重心 【解析】由已知，， 根据平行四边形法则，设中边的中点为，知， ， ，则，，三点共线， 点的轨迹必过的重心. 【变式1-1】已知的三个内角分别为，，，动点满足，，则动点的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A 【解析】在中，令线段BC的中点为M， 由正弦定理得：， 由得：， 即， 而，，则， 于是得与同向共线，而它们有公共起点， 即动点P的轨迹是射线AM(除A点外)，又重心在线段AM上， 所以动点的轨迹一定经过的重心.故选：A 【变式1-2】已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 【答案】A 【解析】如图，设D是BC的中点， ∵，， ∴，即 ∴点P的轨迹是射线AD， ∵AD是△ABC中BC边上的中线， ∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选：A． 【变式1-3】动点P满足（），动点P一定会过ΔABC的（ ） A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】C 【解析】取中点，做出示意图如下图所示： 由图可知， 故， 因为，所以、、三点共线， 即点在的中线所在直线上， 所以点一定会过的重心。故选：C. 考向2 三角形的“内心”判断 【例2】中，a､b､c分别是BC､AC､AB的长度，若，则O是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】∵，且 ∴ 在的角平分线上，同理在的角平分线上， 点为三角形的角平分线的交点 故点是三角形的内心.故选：B. 【变式2-1】已知所在的平面上的动点满足，则直线一定经过的 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】 ， 根据平行四边形法则知表示的向量在三角形角的平分线上， 而向量与共线， 点的轨迹过的内心，故选：． 【变式2-2】设的角、、的对边长分别为，，，是所在平面上的一点，，则点是的 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以，， 所以是的平分线，是的平分线， 所以点是的内心，故选：． 【变式2-3】在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】B 【解析】延长AC，使得AC=CD，则， 因为，所以， 因为，所以，所以是等腰三角形， 所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分， 直线AM一定经过的内心.故选：B. 考向3 三角形的“外心”判断 【例3】设O是所在平面内一定点,P是平面内一动点,若,则点O是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设的中点分别为， ， ， 所以，点在线段的垂直平分线上， 同理点在线段的垂直平分线上， 所以为的外心.故选:B. 【变式3-1】已知，点，为所在平面内的点，且，，， 则点为的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】因为，所以，即 又因为 ， 所以，即 所以即 所以 , 所以，同理，所以为的外心．故选B. 【变式3-2】在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】