专题04 定值问题-2022年高考数学热点突破精练之圆锥曲线解答题

专题04 定值问题 1.圆锥曲线中的定值与定点问题 (1)这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力． (2)解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向． 2.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 (1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值． (2)两大解法： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：其解题流程为 1．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知椭圆C：（）的短轴长为，P（，1）是椭圆C上一点. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M（m，0）（m为常数，且）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与y轴相交于点N，已知，，试问是否为定值？若是､请求出该值；若不是，请说明理由. 【解析】(1)因为椭圆C的短轴长为2，所以， 又是椭圆C上一点，所以，解得， 所以椭圆C的方程为. (2)由题可知，直线l的斜率一定存在，可设l的方程为，，则， 联立方程组，整理得， 则， ，.因为，所以， 则， 故为定值，且定值为8 2．（2022·全国·模拟预测（理））如图所示，已知抛物线E：，其焦点与准线的距离为6，过点作直线，与E相交，其中与E交于A，B两点，与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，若AD，BC的斜率为，． (1)求抛物线E的方程； (2)问是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由． 【解析】(1)抛物线，可得焦点坐标，准线方程为， 由焦点与准线的距离为，则抛物线的方程为． (2)设，，，， 因为，同理，所以①， 由：，将代入可得：②， 又由：，将代入可得：③， 同理：④， 由②③④可得：，，， 代入①，可得，所以为定值，定值为． 3．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为设点是轴上的定点，直线l：，设过点的直线与椭圆相交于A、B两点，A、B在上的射影分别为、． (1)求椭圆的方程； (2)判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【解析】(1)由题意可知，，又，，，． 椭圆的标准方程为：； (2)当直线斜率为0时，、分别为椭圆的左右顶点，、均为， 则， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 联立方程组，消去得：， 设，，，，则时，，， ． 综上，为定值． 4．（2022·安徽·高三期末（文））已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，． (1)求抛物线C的方程； (2)过的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求证：为定值． 【解析】(1)因为点在抛物线上，且， 由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为. (2)设直线的斜率为，可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得且， 由 . 5．（2022·云南·高三阶段练习（理））在平面直角坐标系中，已知点，点M满足以MF为直径的圆均与y轴相切，记M的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)设直线l与C交于A，B两点且△的面积是△面积的倍，在x轴上是否存在一点P使得直线l变动时，总有直线PA的斜率与PB的斜率之积为定值，若存在，求出该定值及点P的坐标；若不能，请说明理由. 【解析】(1)设，则的中点为,其坐标为， ,到轴的距离为， 则由题意可知，点M满足以MF为直径的圆均与y轴相切， 则，化简可得； (2)设直线的方程为，由△的面积是△面积的倍可知，点到直线的距离是点到直线的距离的倍，即，解得或， 可知直线AB过点且斜率不为0,设， 则，      将直线方程与抛物线方程联立得，则，， 即，， 故，由此可知，只有当时，才是定值， 即，当时，，当时，， 故定点，定值为或. 6．（2022·河南·三模（理））已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)由已知设双曲线方程为，又，，成等差数列，且双曲线过点， 则，解得，，，故所求方程为， (2)由（1）得，设､方程分别为､， 则，， 因为以为直径的圆经过，所以即， 即， 设方程为，与联立得， 设，，则，， 所以， 即， 所以，，解得或. 7．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知双曲线的离心率是，实轴长是8. (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B，若直线l上存在不同于点P的点D满足成立，证明：点D的纵坐标为定值，并求出该定值. 【解析