精品解析：黑龙江省大庆第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试理科数学试题

大庆一中高二下学期期末考试 数学试题（理） 【满分：150分，时间：120 分钟】 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是平面内的两条直线，则“直线且”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若x，y满足 则x + 2y最大值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 5. 若的展开式中存在常数项，则可以是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 7. 从4位男生，2位女生中选3人组队参加“弘扬传统文化，增强文化自信”答题比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 8. 已知，则（ ） A. B. 2 C. D. 9. 把函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若在上是增函数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》卷五《商功》中，把正四棱台形状的建筑物称为“方亭”．沿“方亭”上底面的一组对边作垂直于底面的两截面，去掉截面之间的几何体，将“方亭”的两个边角块合在一起组成的几何体称为“刍甍”．现记截面之间几何体体积为，“刍甍”的体积为，若，台体的体公式为，其中、分别为台体的上、下底面的面积．则“方亭”的上、下底面边长之比为（ ） A. B. C. D. 11. 双曲线：的左焦点和虚轴的一个端点分别为，，点为右支上一动点，若周长的最小值为，则的离心率为（ ） A B. C. D. 12. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为__________. 14. 已知函数，则_________. 15. 某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动的累计时长（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约40小时．若某高中学校1000学生中参加该活动时间在30至50小时之间的同学约有300人．据此，可推测全市名学生中，累计时长超过50小时的人数大约为________． 16. 钝角的面积是，，，角的平分线交于点，则________． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. 2020年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活动，全省14万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图. （1）以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数，并求中位数的估计值； （2）若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望. 18. 已知数列前n项和． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）令，求数列的前n项和． 19. 在如图所示的多面体中，是边长为3的正方形，，，，四点共面，面，，，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 20. 已知A，B分别为椭圆C：的左、右顶点，F为右焦点，点P为C上的一点，PF恰好垂直平分线段OB（O为坐标原点），. （1）求椭圆C的方程； （2）过F的直线l交C于M，N两点，若点Q满足（Q，M，N三点不共线），求四边形OMQN面积的取值范围. 21. 已知函数. （1）若在处取得极值，求实数的值； （2）讨论在上的单调性； （3）证明：在（1）的条件下. （二）选考题：共10分.请考生从第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分. 22. 在直角坐标系中，曲线（为参数，常数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．曲线的极坐标方程为． （Ⅰ）