福建省2022届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列三（三角函数存在问题及应对策略）

2022届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列三 三角函数存在问题及应对策略 三角函数内容是高中数学中的基础内容、也是重要内容之一，历年来在数学科高考中都占有重要地位．三角函数部分的全国卷高考试题呈现以下四个特点：（1）利用数形结合考查，通过图形分析、研究、总结三角函数的性质和图象特点；（2）利用三角公式考查，创设试题情境，灵活运用公式，解决问题；（3）利用真实情境考查，考查解三角形内容，体现三角函数的工具性作用；（4）体现思维深度，考查创新意识． 在文理不分科的全国卷的新高考试题中，三角函数部分是六大解答题之一，一般是一大两小，难度控制中等．对三角函数的考查突出基础，体现综合，对恒等变形的要求和过去比有所下降，更多强调对公式的灵活运用，以三角函数作为背景的函数性质应用考查经常出现． 随着新课标的实施和高中课程与高考的综合改革，2021年高考全国新课标1卷考了两道单选择题和一道多选题及一道大题，体现了三角函数知识的综合应用，在学科思想的层面上，课程的教育功能和试题的考查功能是多元的，在三角函数核心知识的考查中充分展示了化归与转化思想的运用． 下表1是2017-2020年全国Ⅰ卷理科高考本部分考查情况统计如下： 表1：2017年--2020年全国Ⅰ卷三角函数考点分布统计表（理科） 年份 题序 考查内容 2017年 9 三角函数图象与性质 17 解三角形 2018年 16 三角函数求最值 17 解三角形 2019年 11 三角函数图象与性质 17 解三角形 2020年 7 三角函数图象与性质的综合应用 9 恒等变换求值 16 三棱锥侧面展开图中解三角形 下表2是2021年全国共10套高考试卷本部分考查情况统计如下： 表2： 2021年高考全国卷三角函数考点分布统计表 题序 考察内容 2021年高考全国甲卷（理科） 8 三角函数的实际应用 9 三角函数的恒等变换、倍角公式与化简求值 16 三角函数的图象与性质 2021年高考全国甲卷（文科） 8 解三角形 11 三角恒等变换求值 15 三角函数的图象与性质 2021年高考全国乙卷（理科） 7 三角函数的图象与性质 9 三角函数的综合应用 15 解三角形 2021年高考全国乙卷（文科） 4 三角函数性质 6 三角恒等变换 15 解三角形 2021年高考全国新课标1卷 4 三角函数的图象与性质 6 三角恒等变换 10 三角函数的概念 19 解三角形 2021年高考全国新课标2卷 4 三角函数的实际应用 18 解三角形 2021年高考北京卷 7 三角函数的性质 14 三角函数的图象性质 16 解三角形 2021年高考上海卷 9 三角函数的应用 15 三角函数的图象与性质 18 解三角形 2021年高考天津卷 9 某区间三角函数的零点个数问题 16 解三角形 2021年高考浙江卷 8 三角函数的综合应用 14 解三角形 18 三角函数的图象与性质 下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的教学对策． 一、存在的问题及归因分析 （一）概念理解不透彻 本专题中，概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式；三角函数的复合变换和三角函数的性质（周期性、单调性、对称性）等． 【例1】（2021年高考全国新课标1卷10） 已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin（α+β）），A（1，0），则（　　） A．| B．| C． D． 【解析】如图，建立平面直角坐标系xoy,设点A（1,0），作出单位圆O，并作出角，使角始边为OA，终边交圆O于点；角始边为，终边交圆O于点；角始边为OA，终边交圆O于点；于是，，，或，故选A、C. 【评析】本题考查三角函数的定义及平面向量数量积的性质及运算. 【例2】（2020年全北京卷10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔•卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔•卡西的方法，的近似值的表达式是 A． B． C． D． 【解析】内接正6n边形的边长为,外切正6n边形的边长为,则,即,故选A． 【评析】本题解题关键在于从圆的内接正多边形和外切正多边形边长求法入手，运用圆的性质，结合直角三角形的