福建省2022届高中毕业班数学学科二轮备考关键问题指导系列二（函数与导数典例剖析与资源推送）

2022届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列二 函数与导数典例剖析与资源推送 一、典型问题剖析 典型问题一：函数性质的综合应用 【例1】 【2021年全国新高考Ⅱ卷7】已知，，，则下列判断正确的是 A. B. C. D. 【解析】，即.故选C. 【评析】解题的关键在于利用对数函数的单调性比较、与的大小关系，由此可得出结论．应值得注意的是，在比较数的大小时，经常利用中间量进行比较大小，中间量往往考虑三个数． 【例2】 （多选题） 【江苏省南京市2021届高三第一次模拟考试卷11】已知函数，则下列说法正确的是 A．函数是偶函数 B．函数是奇函数 C．函数在上为增函数 D．函数的值域为 【解析】对于A、B，由，所以函数是偶函数，故A 正确，B错误； 对于C，由，函数在上不是增函数，故C错； 对于D，，设，当且仅当时取等号，则的最小值为，故，故D 正确．综上选AD． 【评析】本题考查函数性质的综合应用．函数模型为对数函数，解题的关键在于掌握函数性质的基础上，灵活应用对数的运算．其中，对C的判断，灵活应用特殊值法进行解决；对D的判断，涉及到均值不等式公式的应用． 【例3】 【2021年全国新高考Ⅱ卷8】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则 A. B. C. D. 【解析】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则，故，故选B. 【评析】解题的关键在于理解为偶函数、为奇函数的涵义，在此基础上，推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 典型问题二：函数导数的几何意义 【例1】【2016年全国Ⅲ卷理15】已知f(x)为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______. 【解析】解法一：当时，，所以 故，故切线方程为． 解法二：因为，因为，所以，故切线方程为． 【评析】本题主要考查导数的概念，导数的几何意义，函数的奇偶性等基础知识，解法一解题的关键在于利用f(x)为偶函数，求得时函数的解析式；解法二解题的关键在于熟知偶函数的导数为奇函数． 【例2】【2021年全国新高考Ⅰ卷7】若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，所以曲线在点处的切线方程为，即，由题意可知，点在直线上，可得，令，则. 当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减， 所以，，由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示，由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选D. 【评析】解题的关键在于，在曲线上任取一点，根据导数几何意义求得切线方程，其次构造函数；最后利用导数研究函数图象，结合图形确定结果． 典型问题三：利用导数研究零点问题 【例1】【2021年全国甲卷理21】已知且，函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围． 【解析】（1）当时，, 令得,当时，,当时，, 所以函数在上单调递增；上单调递减． （2）,即，即，所以．设函数, 则,令，得, 在内,单调递增；在上,单调递减，所以, 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是，即,所以的取值范围是. 【评析】本题第（2）问解题的关键在于利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围. 解决曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，一般是将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解. 典型问题四：利用导数证明不等式问题 【例1】【2021年全国新高考Ⅰ卷22】已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【解析】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为. （2）因为，故，即，故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，，故. 先证：， 若，必成立. 若， 要证：，即证，而， 故即证，即证：，其中. 设， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立，所以成立， 综上，成立. 设，则， 结合，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令， 则， 先证明一个不等式：. 设，则， 当时