查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质-【查漏补缺】2022年高考数学（理）三轮冲刺过关

查补易混易错点04 三角变换及三角函数的性质 三角恒等变换是高考的一个重要考点，通常难度不大，主要用于三角函数等价代换，可以化简式子，方便运算.考查主要集中在两角和与差的三角公式、二倍角公式、辅助角公式.三角恒等变换不但在三角函数式的化简、求值和证明中发挥作用，还涉及不少其他方面，如通过三角换元可以将一些代数问题化为三角问题，参数方程的建立又可将解析几何问题中的曲线问题归结为三角问题，是最常见的解题“工具”.利用三角恒等变换公式对三角函数式进行求值、化简和证明，进一步发展了数学运算能力，体现了数学运算核心素养;三角公式众多，方法灵活多变，熟练掌握这些公式，可以加深对诸多公式内在联系的理解，发展学生的逻辑思维能力，体现了逻辑推理核心素养. 三角函数是基本初等函数中的一种超越函数.三角函数的图像和性质，在高考中出现的频率较高，需要掌握最基本的正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质，研究方法是先作图像，再通过图像观察总结其性质.形式为的三角函数是考查中的重点，考查方面有周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移与伸缩变换、由性质或者图像确定函数的解析式等.了解此函数的物理意义以及参数对函数图像的影响.三角函数是刻画周期现象的重要函数.利用三角函数的图像研究三角函数的性质非常直观，体现了直观想象核心素养;对三角函数性质的研究，体现了逻辑推理核心素养;三角函数在实际问题中的应用，体现了数学建模核心素升. 高考五星高频考点，2019年-2021年高考全国卷均在选择、填空题进行考查. 易错点1　忽视正、余弦函数的有界性 【突破点】　许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性． 易错点2　忽视三角函数值对角的范围的限制 【突破点】　 在解决三角函数中的求值问题时，不仅要看已知条件中角的范围，更重要的是注意挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围． 易错点3　忽视解三角形中的细节问题 【突破点】　(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围． (2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补的情况． (3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切忌出现漏解情况． 易错点4　三角函数性质理解不透彻 【突破点】　(1)研究奇偶性时，忽视定义域的要求． (2)研究对称性时，忽视y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴有无穷条、对称中心有无数个． (3)研究周期性时，错将y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的周期写成. 易错点5　图象变换方向或变换量把握不准确 【突破点】　图象变换若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向． 易错题6 不能全面理解三角函数性质致误 【突破点】本易错点主要包含以下几个问题：(1)求三角函数值域忽略定义域的限制；(2)确定三角函数的最小正周期，忽略三角变换的等价性；(3)求复合函数的单调性忽略对内函数单调性的判断. 易错题7 对平移理解不准确致误 【突破点】三角函数图象的左右平移是自变量x发生变化,如ωx→ωx±φ(φ>0)这个变化的实质是x→x±,所以平移的距离并不一定是φ. 易错题8 用零点确定的,忽略图象的升降 【突破点】确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π. 【真题演练】 1．（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式； 解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式. 【详解】 解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象， 根据已知得到了函数的图象，所以， 令,则, 所以,所以； 解法二：由已知的函数逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度，得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 即为的图象，所以. 故选：B. 2．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】 因为函数的单调递增区