素养卷04(练构造)-【小题小卷】冲刺2022年高考数学小题限时集训(全国专用)

素养卷04 练构造（建模与逻辑推导） 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ） A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块 2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 【答案】C 【分析】第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列， 设为的前n项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到. 【详解】 设第n环天石心块数为，第一层共有n环， 则是以9为首项，9为公差的等差数列，， 设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为，因为下层比中层多729块， 所以， 即 即，解得， 所以. 故选：C 【点晴】 本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 2．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（       ） A． B． C． D． 四川省成都市石室中学2021-2022学年高三下学期“二诊模拟”数学（理）试题 【答案】A 【分析】设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，球的半径为，然后求出和圆心到底面的距离即可. 【详解】 设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为O，球的半径为． 因为球的体积为，即，所以球O的半径． 由题意可得，圆的半径为1．利用球的性质，得． 又因为圆心到底面的距离即为侧面三角形的高，且其高为，所以球心到底面的距离为． 故选：A 3．某艺术馆有一间边长为10m的正方形展厅，设计师准备在展厅地面铺设深浅两种颜色边长均为1m的正方形瓷砖．如图，先在一个墙角铺一块深色瓷砖（左上角），然后在这块砖外侧铺一层浅色瓷砖，再在浅色瓷砖外侧铺一层深色瓷砖……像这样一层一层向外，两种颜色相间铺设，直到铺满整个展厅．若在这个展厅内随机抛一枚硬币（大小忽略不计），则硬币最后落在深色瓷砖上的概率为（       ） A． B． C． D． 河南省大联考2021-2022学年高中毕业班阶段性测试（五）理科数学试题 【答案】A 【分析】根据题意，分别求出深色瓷砖总数和瓷砖总数，根据古典概型概率公式，即可得答案. 【详解】 由题意得，第1、3、5、7、9圈铺深色瓷砖， 第一圈1块，第3圈块，第5圈块 则第n圈，为块（，n为奇数）， 所以深色瓷砖总数， 瓷砖总数， 所以硬币最后落在深色瓷砖上的概率为. 故选：A 4．已知数列满足，设数列的前项和为，若，，则(       ) A．1008 B．1009 C．2016 D．2018 湖南省长沙市雅礼中学等十六校2022届高三下学期第一次联考数学试题 【答案】B 【分析】根据已知递推式得出以，，则，由此根据已知条件求出，由此即可求解． 【详解】 ∵，， ∴，则，∴，， 则，可知，，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，则， ∴， ∵， ∴，， ∵，∴， 故选：B． 5．已知，，则下列关系式不可能成立的是（       ） A． B． C． D． 陕西省宝鸡市2022届高三上学期高考模拟检测（一）理科数学试题 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性可判断AB； 构造函数，，利用导数判断单调性可判断CD. 【详解】 对于，两边取对数得， 即， 构造函数，， 当时，，是单调递增函数， 当时，，是单调递减函数， 若，则，即，故A正确； 若，则，，故B正确； 构造函数，， ，当时，，单调递增，所以， ，当时，，单调递减，当时，，单调递增，， 所以时，即， 所以成立，不可能成立，故C正确D错误. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：双变量的不等式的大小比较，应该根据不等式的特征合理构建函数，并利用导数判断函数的单调性，从而判断不等式成立与否. 6．已知函数，，若存在，使得成立，则实数k的范围是（       ） A． B． C． D． 河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试数学（文）试题 【答案】C 【分析】不妨设，根据，的单调性，将不等式等价于，即，令，需在上单调递减，运用导函数得需，分离参数得，令，求出导函数，分析其导函数的符号，得出所令函数的单调性和最值，由此可求得实数k的范围. 【详解】 解：，，不妨设，因为，所以在上单调递增，所以， 又在上单调递增，所以， 所以不等