专题04 解三角形大题归类-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)

专题04 解三角形大题归类 目录 一、热点题型归纳 1 【题型一】 正余弦定理基本型1：角与对边 1 【题型二】 正余弦定理基本型2：分式型 3 【题型三】 正余弦定理基本型3：正切型 6 【题型四】 正余弦定理基本型4：余弦定理型 7 【题型五】 解三角形最值型1：面积最值 10 【题型六】 解三角形最值型2：周长最值 12 【题型七】 解三角形最值型3：边长最值 14 【题型八】 解三角形最值型4：系数不同型最值（非对称型） 15 【题型九】 解三角形最值型5：无边长最值型 18 【题型十】 解三角形综合求值型：四边形（多边形） 20 二、最新模考题组练 24 【题型一】正弦定理基本型1:角与对边 【例1】 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1）（2） 【分析】 （1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果. 【详解】 （1）由正弦定理可得： 即： ，由得： （2），的周长为 由余弦定理可得： 的面积： 【例2】 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角 （2）若，，求. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由正弦定理和两角和的正弦，化简得到，进而求得，即可求得角的大小； （2）由（1）和题设条件，求得，进而求得，结合正弦定理，即可求解. 【详解】 （1）因为，由正弦定理，可得， 即， 又因为，可得，所以， 因为，则，所以，所以. （2）由（1）知，且，所以， 所以， 又因为，由正弦定理，则. 【例3】 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 分析：（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得 ， 所以.详解： (1)∵ ∴ ∴ （2）∵∴ ∴ 【例4】 在中，内角、、的对边分别为、、，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的值． 【答案】(1).(2). 分析：（1）利用正弦定和三角形内角和定理与三角恒等变换，即可求得的值； （2）由三角形面积公式和余弦定理，即可求得的值. 详解：(1)由已知及正弦定理得：， ， (2) 又 所以，． 【题型二】 正余弦定理基本型2：分式型 【例1】 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，已知． 求的值； 若，的周长为5，求b的长． 【答案】（1）2（2）2 试题分析：（1）由正弦定理和三角形的性质，得，即求解的值；（2）由（1）可知，∴，再由余弦定理和三角形周长，即可求解的长. 试题解析：（1）由正弦定理知， ， （2分） 即， 即， （4分） 又由知，，所以. （6分） （2）由（1）可知，∴， （8分） 由余弦定理得 ∴， （10分） ∴，∴，∴. （12分） 【例2】 已知的三个内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的最小值； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求，进而可求； （2）由已知结合正弦定理，和差角公式及辅助角公式进行化简可求，然后结合同角平方关系即可求解. 【详解】 （1）由，得，由正弦定理可得，， 即，又， ∴，即，由余弦定理可得，，当且仅当时取等号， 故的最小值； （2）由（1）知，又结合正弦定理可得，，； ，整理可得，； 由可得，故；∴. 【例3】 已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且 （1）求角的大小． （2）求函数的值域． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域. 【详解】 （1）由，利用正弦定理可得， 可化为，. （2）， ，， ，. 【例4】 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若，求. 【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4. 【分析】 【详解】 试题分析：（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定理，即可证明．（Ⅱ）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解B的正切函数值即可 试题解析：（1）根据正弦定理，设===k（k>0）． 则a=ksinA，b=ksinB，c=ksin C． 代入+=中，有+=，变形可得 sin Asin B=sinAcos B+cos Asin B=sin（A+B）． 在△ABC中，由A+B+C