专题4.2 因式分解的应用（压轴题专项讲练）-2021-2022学年七年级数学下册从重点到压轴（浙教版）

专题4.2 因式分解的应用 【典例1】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如： 分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4， ＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）， 例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值， 2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8． 可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　； （2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值． （3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值． 【思路点拨】 （1）将多项式加4再减4，利用配方法可得； （2）将多项式配方后可得结论； （3）将多项式配方后可得结论． 【解题过程】 解：（1）m2﹣4m﹣5 ＝m2﹣4m+4﹣9 ＝（m﹣2）2﹣9 ＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3） ＝（m+1）（m﹣5）， 故答案为：（m+1）（m﹣5）． （2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5， ∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5； （3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20 ＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+10 ＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+10， ∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值10． 1．（2021春•长安区期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，5，x2﹣y2，a，x+y，a2﹣ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（　　） A．我爱美丽城 B．我爱城运会 C．城运会我爱 D．我美城运会 【思路点拨】 利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为5a（x﹣y）（x+y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断． 【解题过程】 解：5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）＝5a（x2﹣y2）（a﹣b）＝5a（x﹣y）（x+y）（a﹣b）， 信息中的汉字有：我、爱、会、运、城． 所以经密码翻译呈现准确的信息是我爱城运会， 故选：B． 2．（2021秋•博兴县期末）已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．6 【思路点拨】 根据分解因式的分组分解因式后整体代入即可求解． 【解题过程】 解：a2b+ab2﹣a﹣b ＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b） ＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1） ＝（ab﹣1）（a+b） 将a+b＝3，ab＝1代入，得 原式＝0． 故选：B． 3．（2021秋•泉州期末）若实数a、b满足a2+b2＝1，则ab+a+3b的最小值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3 【思路点拨】 由a2+b2＝1，可得a2≤1，b2≤1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，然后通过因式分解的应用将原式变形为（b+1）（a+3）﹣3，从而分析其最值． 【解题过程】 解：∵a2+b2＝1， ∴a2≤1，b2≤1， ∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1， ∴ab+a+3b ＝a（b+1）+3（b+1）﹣3 ＝（b+1）（a+3）﹣3， 又∵a+3＞0，b+1≥0， ∴当b+1＝0，即b＝﹣1时，原式有最小值为﹣3， 故选：A． 4．（2021春•永嘉县校级期末）已知x3+x2+x+1＝0，则x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．2 【思路点拨】 多项式x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1共有2020项，从第一项起每4项一组，每组都含有x3+x2+x+1，于是分解后得到（x3+x2+x+1）（x2016+…+x4+1），然后利用整体代入的方法计算． 【解题过程】 解：∵x3+x2+x+1＝0， ∴x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1 ＝x2016（x3+x2+x+1）+…+（x3+x2+x+1） ＝（x3+x2+x+1）（x2016+…+x