专题20 排列组合中的常用方法-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题20 排列组合中的常用方法 1．求解有限制条件排列问题的主要方法 直 接 法 分类法 选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数 分步法 选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数 捆绑法 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 除法 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列 间接法 对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 2.两类含有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． (2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解． 3．分组问题的求解策略 (1)对不同元素的分配问题． ①整体均分：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． ②部分均分：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ③不等分组：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． (2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”． （2021秋•丰台区校级期末）校园电视台给甲、乙、丙、丁4位同学安排了“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每人做且仅做一项工作，甲不能安排“负重扛机”工作，乙不能安排“编制剪辑”工作，则不同的安排方法共有（　　） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 【分析】分甲安排为“编制剪辑”工作和甲也不安排“编制剪辑”工作两种情况分别求出不同的安排数，求和即可得出答案． 【解答】解：当甲安排为“编制剪辑”工作，另外3人任意安排工作有 种方法． 当甲也不安排“编制剪辑”工作时，先安排甲有A 种，再安排乙有A种， 另外剩余2人有，则此时有， 共有6+8＝14 种， 故选：B． （2021秋•浙江月考）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，并且两个奇数数字之间恰有一个偶数数字，这样的五位数有（　　） A．12个 B．28个 C．36个 D．48个 【分析】根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，则分3种情况讨论，①、0被奇数夹在中间，②、2被奇数夹在中间，③、4被奇数夹在中间时，由组合式公式，分析求出每种情况下的排法数目，由分类加法原理计算可得答案． 【解答】解：0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，分3种情况讨论： ①0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况； 再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有A33＝6种情况； 故0被奇数夹在中间时，有2×6＝12种情况； ②2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况； 再将1、2、3看成一个整体，与0、4全排列，有A33＝6种情况， 其中0在首位的有2种情况，则有6﹣2＝4种排法； 故2被奇数夹在中间时，有2×4＝8种情况； ③4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况， 则这样的五位数共有12+8+8＝28种； 故选：B． （2021秋•遵义月考）甲、乙、丙、丁4人站成一排排练节目，且甲、乙2人必须相邻，则不同的站队方法有（　　） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【分析】由排列组合及简单的计数原理即可求解． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①利用捆绑法将甲乙看成一个整体，考虑其顺序有种排法， ②将这个整体与其余2人进行全排列，有种排法， 则不同的站队方法有•12， 故选：A． （2021春•肇庆期末）“仁、义，礼、智、信”为儒家“五常”，由孔子提出．现将“仁、义、礼、智、信”五个字排成一排，则“礼、义”相邻，且“智、信”相邻的排法种数为（　　） A．24 B．32 C．36 D．48 【分析】根据题意，分2步进行分析：①将“礼、义”和“智、信”分别看成2个整体，②将两个整体与“仁”全排列，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①将“礼、义”和“智、信”分别看成2个整体，有4种不同的顺序， ②将两个整体与“仁”全排列，