3.4复数的三角表示（1）教学设计-2021-2022学年高一下学期数学 湘教版（2019）必修第二册

《3.4复数的三角表示（1）》教学设计 一、课程标准 了解的几何意义、. 二、教学目标 1．了解的几何意义 2.了解乘复数的几何意义． 三、重点重点：的几何意义． 四、教学难点：乘复数的几何意义． 五、教学过程 （一）创设情境，引入新课 上节课我们学习了复数的几何表示，那复数可以用三角表示吗？ （二）自主学习，熟悉概念 1.要求：学生阅读P109-112 2.思考： 1． 的几何意义是什么？ 2. 乘复数的几何意义是什么？ （3） 检验自学，强化概念 1．的几何意义 如图，设平面向量OP=(x,y)对应复数z=x+yi，则OQ=(-x,-y)对应复数-z=(-1)z。由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP绕起点O逆时针旋转180°得到。 于是，由(-1)z=-z可知，-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP绕起点旋转180°变成OQ。 按照这样的思路，将z连乘两个-1得到(-1)2z，就是将OP连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到OP自己。这就是说(-1)2OP=OP，(-1)2z=z，(-1)2=1. 既然用(-1)2乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP旋转连个180°，很自然会猜测：用-1的一个平方根i乘z的几何意义应该是将OP旋转半个180°，也就是旋转90°，得到的向量OP与复数iz对应。 结论：（即的平方根）乘的几何意义应该是将复数对应的向量绕起点旋转90°． 2.旋转任意角 如图，把复数z对应的向量OP旋转角得到OP´，把OP旋转90°得到OQ，则由平面向量基本定理可知，OP´可写成OP，OQ方向上的单位向量， 的实数倍之和，即OP´=a+b. 设r=|OP|，则|OP´|=|OQ|=r, OP=r, OQ=r. 所以cos=,sin= 即a=rcos, b=rsin. 于是OP´=(rcos)+(rsin) =cos·OP+sin·OQ 所以OP´对应的复数为cosz+sin·iz,可看作是由cos+isin乘得到的。 由此可得，用cos+isin乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角. 结论：复数可看作是由乘得到，对应的复数是，几何意义是将复数对应的平面向量旋转角． 6.例题讲解 例1. 将正实数a连续4次乘i得到ai,-a,-ai,a,并将这些数用复平