专题03 定点问题-2022年高考数学热点突破精练之圆锥曲线解答题

专题03 定点问题 1.圆锥曲线中的定点问题 (1)这类问题一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，一元二次方程的根与系数之间的关系，考查斜率、向量的运算以及运算能力． (2)解决这类定点与定值问题的方法有两种：一是研究一般情况，通过逻辑推理与计算得到定点或定值，这种方法难度大，运算量大，且思路不好寻找；另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值，然后验证，这样在整理式子或求值时就有了明确的方向． 2.解决圆锥曲线中定点问题的基本思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)． (2)既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于0，这样就得到一个关于x，y的方程组，即 (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足的点(x0，y0)为直线或曲线所过的定点． 1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.设（4，0），是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴交于定点. 【解析】由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ① 设点 直线的方程为令得：， 将，代入，整理，得：   ② 由①得，代入②整理，得. 所以直线与轴相交于定点（1，0）. 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆C： 过点P(0，1)的动直线l(直线l的斜率存在)与椭圆C相交于A，B两点，问在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立？若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】假设在y轴上存在与点P不同的定点Q，使得＝恒成立． 设Q(0，m)(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋1， 由得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0， 显然，Δ>0，∴x1＋x2＝，x1x2＝， ，∵＝，∴sin∠PQA＝sin∠PQB， ∴∠PQA＝∠PQB，∴kQA＝－kQB，∴，∴(m－1)(x1＋x2)＝2kx1x2， 即，解得m＝2，∴存在定点Q(0，2)，使得＝恒成立． 3．（2022·全国·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点到F的距离为3， (1)求抛物线C的方程和点A的坐标； (2)设直线l与抛物线C交于D，Ｅ两点，抛物线C在点D，E处的切线分别为，若直线与的交点恰好在直线上，证明：直线l恒过定点． 【解析】(1)由抛物线上一点到F的距离为， 可得，解得，所以抛物线C的方程为， 将点代入，可得， 因为，所以，即点的坐标为． (2)证明：设， 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立方程，整理得， 所以，且， 又由，即，可得， 所以抛物线在点处的切线的方程为，即， 同理直线的方程为，联立方程，解得， 又因为直线与的交点恰好在直线上， 所以，即，所以，解得， 故直线的方程为，所以直线恒过定点． 4．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知抛物线C：（），过焦点F作x轴的垂线与抛物线C相交于M､N两点，S△MON=2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)点A是抛物线C上异于点O的一点，连接AO交抛物线的准线于点D，过点D作x轴的平行线交抛物线于点B，求证：直线AB恒过定点. 【解析】(1) 由题知，，代入抛物线得，， 所以，解得：，从而抛物线的方程为. (2) 设，，（），则， 则，，由，，三点共线，有：，即， 由题知，直线不与轴平行，设其方程为， 联立得：得：，从而， 则，则，从而直线方程为，恒过点. 5．（2022·新疆·二模（理））已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆周长为． (1)求抛物线C的方程； (2)设，B是抛物线C上一点，且，直线与直线交于点Q，过点Q作轴的垂线交抛物线C于点N，证明：直线恒过一定点，并求出该定点的坐标． 【解析】(1)设外接圆的半径为r，圆心为O 易知圆心O在线段的中垂线上，且圆心到准线的距离， 所以由，解得，所以抛物线C的方程为：； (2)设，由题意知，， 则直线的方程：，即， 与联立：，得， 由题意知：，        ∴ 则直线的方程：， 所以当时恒成立，所以直线恒过定点 6．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知O为坐标原点，、为椭圆C的左、右焦点，，B为椭圆C的上顶点，以B为圆心且过、的圆与直线相切． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知M、N为椭圆C上两点，若直线BM和BN的斜率之和为－2.试探究：直线MN是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由. 【解析】(1)依题意，c＝1；