专题4.1 因式分解（重点题专项讲练）-2021-2022学年七年级数学下册从重点到压轴（浙教版）

专题4.1 因式分解 【典例1】先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2． 再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你完成下列各题： （1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2； （2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1； （3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81． 【思路点拨】 （1）把x﹣y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可； （2）把a+2看作一个整体，利用完全平方公式分解即可； （3）把y2﹣6y看作一个整体，利用完全平方公式分解即可． 【解题过程】 解：（1）设x﹣y＝m， 原式＝1﹣2m+m2 ＝（1﹣m）2 ＝[1﹣（x﹣y）]2 ＝（1﹣x+y）2； （2）设a+2＝m， 原式＝25m2﹣10m+1 ＝（5m﹣1）2 ＝[5（a+2）﹣1]2 ＝（5a+9）2； （3）设y2﹣6y＝m， 原式＝m（m+18）+81 ＝m2+18m+81 ＝（m+9）2 ＝（y2﹣6y+9）2 ＝（y﹣3）4． 1．（2020秋•饶平县校级期末）分解分式：m2﹣3m． 【思路点拨】 直接把公因式m提出来即可． 【解题过程】 解：m2﹣3m＝m（m﹣3）． 2．（2021春•罗湖区校级期末）因式分解： （1）﹣20a﹣15ax； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）． 【思路点拨】 （1）直接提取公因式﹣5a，进而得出即可； （2）直接提取公因式（a﹣3），进而得出即可． 【解题过程】 解：（1）﹣20a﹣15ax ＝﹣5a（4+3x）； （2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6） ＝（a﹣3）2﹣2（a﹣3） ＝（a﹣3）（a﹣5）． 3．（2020秋•铜官区期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） 【思路点拨】 直接找出公因式，进而提取公因式得出答案． 【解题过程】 解：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m） ＝2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m] ＝2m（m﹣n）（5m﹣n）． 4．（2021秋•黄浦区期中）分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）． 【思路点拨】 对原式进行变形，提取公因式x﹣2y，化简即可． 【解题过程】 解：原式＝（x﹣2y）（2x+3y）+2（x﹣2y）（5x﹣y） ＝（x﹣2y）[2x+3y+2（5x﹣y）] ＝（x﹣2y）（2x+3y+10x﹣2y） ＝（x﹣2y）（12x+y）． 5．（2021春•鄞州区期末）因式分解： （1）a2﹣4b2； （2）﹣x2+6xy﹣9y2． 【思路点拨】 （1）根据平方差公式分解因式； （2）先提负号，然后根据完全平方公式分解因式． 【解题过程】 解：（1）a2﹣4b2 ＝a2﹣（2b）2 ＝（a+2b）（a﹣2b）； （2）﹣x2+6xy﹣9y2 ＝﹣（x2﹣6xy+9y2） ＝﹣（x﹣3y）2． 6．（2021秋•浦东新区校级期中）因式分解：81a4﹣16． 【思路点拨】 原式利用平方差公式分解即可． 【解题过程】 解：原式＝（9a2）2﹣42 ＝（9a2+4）（9a2﹣4） ＝（9a2+4）（3a+2）（3a﹣2）． 7．（2021春•亭湖区校级月考）把下列各式分解因式： （1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2； （2）16x4﹣8x2y2+y4． 【思路点拨】 （1）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （2）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解题过程】 解：（1）原式＝[5（a+b）﹣3（a﹣b）][5（a+b）+3（a﹣b）] ＝（8a+2b）（2a+8b） ＝4（4a+b）（a+4b）； （2）原式＝（4x2﹣y2）2 ＝（2x+y）2（2x﹣y）2． 8．（2021•市南区校级开学）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9． 【思路点拨】 首先利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可． 【解题过程】 解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9 ＝（x2﹣1）2﹣6（x2﹣1）+9 ＝（x2﹣1﹣3）2 ＝（x﹣2）2（x+2）2． 9．（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1． 【思路点拨】 先对多项式进行化简整理，然后再运用完全平方公式分解即可． 【解题过程】 解：（a+2）（a+4）+1 ＝a2+6a+9 ＝（a+3）2． 10．（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2． 【思路点拨】 先去括号，然后再合并同类项，最后对化简后的式子进行分解即可解答． 【解题过程】 解：（a+2b）（a+4b）+