专题3.4 整式的混合运算与化简求值（重点题专项讲练）-2021-2022学年七年级数学下册从重点到压轴（浙教版）

专题3.4 整式的混合运算与化简求值 【典例1】若整式A只含有字母x，且A的次数不超过3次，令A＝ax3+bx2+cx+d，其中a，b，c，d为整数，在平面直角坐标系中，我们定义：M（b+d，a+b+c+d）为整式A的关联点，我们规定次数超过3次的整式没有关联点．例如，若整式A＝2x2﹣5x+4，则a＝0，b＝2，c＝﹣5，d＝4，故A的关联点为（6，1）． （1）若A＝x3+x2﹣2x+4，则A的关联点坐标为 　 　． （2）若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积，若整式C的关联点为（6，﹣3），求整式B的表达式． （3）若整式D＝x﹣3，整式E是只含有字母x的一次多项式，整式F是整式D与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为（﹣200，0），请直接写出整式E的表达式． 【思路点拨】 （1）根据整式A得出a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4，根据关联点的定义得出b+d＝5，a+b+c+d＝4，即可得出A的关联点坐标； （2）根据题意得出B中x的次数为1次，设B＝nx+m，计算出C＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m，进而表达出a，b，c，d的值，再根据C的关联点为（6，﹣3），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可； （3）设E＝nx+m，根据题意求出F＝n2x3+（2mm﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2，进而表达出a，b，c，d的值，再根据F的关联点为（﹣200，0），列出关于b+d，a+b+c+d的等式，解出m、n的值即可． 【解题过程】 解：（1）∵A＝x3+x2﹣2x+4， ∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，d＝4， ∴b+d＝5，a+b+c+d＝4， A的关联点坐标为：（5，4）， 故笞案为：（5，4）； （2）∵整式B是只含有字母x的整式，整式C是B与（x﹣2）（x+2）的乘积， （x﹣2）（x+2）＝x2﹣4是二次多项式，且C的次数不能超过3次， ∴B中x的次数为1次， ∴设B＝nx+m， ∴C＝（nx+m）（x2﹣4）＝nx3+mx2﹣4nx﹣4m， ∴a＝n，b＝m，c＝﹣4n，d＝﹣4m， ∵整式C的关联点为（6，﹣3）， ∴m﹣4m＝6，n+m﹣4n﹣4m＝﹣3， 解得：m＝﹣2，n＝3， ∴B＝3x﹣2； （3）根据题意：设E＝nx+m， ∴F＝（nx+m）2（x﹣3） ＝（n2x2+2mnx+m2）（x﹣3） ＝n2x3+（ 2mn﹣3n2）x2+（m2﹣6mn）x﹣3m2， ∴a＝n2，b＝2mn﹣3n2，c＝m2﹣6mn，d＝﹣3m2， ∵整式F的关联点为（﹣200，0）， ∴2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200，n2+2mn﹣3n2+m2﹣6mn﹣3m2＝0， n2+2mn+m2＝0，（m+n）2＝0， ∴m＝﹣n， 把m＝﹣n代入2mn﹣3n2﹣3m2＝﹣200得：﹣2n2﹣3n2﹣3n2＝﹣200， 解得：n2＝25， ∴n＝±5，m＝±5， ∴E＝5x﹣5或E＝﹣5x+5． 1．（2021秋•和平区期末）下列计算正确的是（　　） A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝9a2﹣4 C．（a+2）2＝a2+2a+4 D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8 【思路点拨】 直接利用平方差公式以及完全平方公式、多项式乘多项式分别计算，进而判断得出答案． 【解题过程】 解：A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故此选项不合题意； B．（﹣3a﹣2）（3a﹣2）＝4﹣9a2，故此选项不合题意； C．（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项不合题意； D．（a﹣8）（a﹣1）＝a2﹣9a+8，故此选项符合题意． 故选：D． 2．（2020春•长安区校级期末）若x2﹣4x﹣1＝0，则代数式2x（x﹣3）﹣（x﹣1）2+3的值为（　　） A．3 B．4 C．1 D．0 【思路点拨】 利用单项式乘多项式的计算法则和完全平方公式先算乘方和乘法，然后再算加减，最后整体代入求值． 【解题过程】 解：原式＝2x2﹣6x﹣（x2﹣2x+1）+3 ＝2x2﹣6x﹣x2+2x﹣1+3 ＝x2﹣4x+2， 又∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， ∴原式＝1+2＝3， 故选：A． 3．已知a2+2ab+b2＝0，那么代数式a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b）的值为（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【思路点拨】 直接利用乘法公式化简，再利用整式的混合运算法则计算，把（a+b）＝0代入得出答案． 【解题过程】 解：a（a+4b）﹣（a+2b）（a﹣2b） ＝a2+4ab﹣（a2﹣4b2） ＝a2+4ab﹣a2+4b2 ＝4ab+4b2， ∵a2+2ab+b2＝0， ∴（a+b）2＝0， 则a+b＝0， 故原式＝4b（a+b）＝0．